Определения

Линейное пространство   называется евклидовым, если в этом пространстве определена операция, ставящая в соответствие паре векторов   и   вещественное число, называемое скалярным произведением векторов   и  , и обозначаемое  ; при этом операция подчиняется аксиомам:

1.   для  ;  2.   для  ; 3.   для  ; 4.   для  ,  .

Из аксиом 1 и 2 вытекает свойство линейности скалярного произведения и по второму вектору: 

2'.   для  .

П

Пример 1. Пространство  .

здесь векторы   рассматриваются как столбцы, а   означает транспонирование. Будем называть это скалярное произведение стандартным. Легко проверить выполнимость аксиом 1 - 4 .

Однако стандартное определение скалярного произведения вовсе не является единственно допустимым; формально скалярное произведение можно ввести и другим способом. Рассмотрим (пока произвольную) вещественную квадратную матрицу   порядка   и положим

(Здесь векторы   и   из   снова рассматриваются как столбцы.) Если матрица   является положительно определенной, то все аксиомы скалярного произведения будут удовлетворены.

Зачем нужна такая возможность в неоднозначности определения скалярного произведения в одном и том же пространстве? — Ответ на этот вопрос откладывается до следующего пункта. А пока приведу одно замечание¹⁾.

§

Введенное — по любому из допустимых алгоритмов — скалярное произведение в   является функцией от   аргументов — координат векторов  и  :

Что это за функция? — Очевидно, это — полином, причем однородный второй степени. Однако по каждой переменной из набора   он являетсялинейным. Именно, аксиомы 2 и 3 можно объединить в одно свойство линейности:

Аналогичное утверждение справедливо и относительно координат вектора  . Наличие подобных свойств позволяет выделить во множестве произвольных однородных полиномов второй степени (квадратичных форм) от   переменных подмножество билинейных форм. Это определение допускает обобщение на произвольное количество наборов переменных из  : полилинейная форма. В частности, полилинейной формой является определитель матрицы порядка  как функция от   элементов этой матрицы, объединенных в наборы строк или столбцов 

23.Понятние линейного пространства.

1. Определение линейного пространства. Множество R элементов х, у, z,... любой природы называется линейным (или аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования.  I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и у множества R ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов х и у и обозначаемый символом z = х + у.  П. Имеется правило, посредством которого любому элементу х множества R и любому вещественному числу λ ставится в соответствие элемент u этого множества, называемый произведением элемента х на число λ и обозначаемый символом u = λх или

u = хλ.  III. Указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:  1° х + у = у + х (переместительное свойство суммы);  2° (х + у) + z = х + (у + z) (сочетательное свойство суммы);  3° существует нулевой элемент 0 такой, что х + 0 = х для любого элемента х (особая роль нулевого элемента);  4° для каждого элемента х существует противоположный элемент х' такой, что х + х' = 0;  5° 1 • х = х для любого элемента х (особая роль числового множителя 1);  6° λ(µх) = (λµ)x (сочетательное относительно числового множителя свойство); 

7° (λ + µ)x = λх + µх (распределительное относительно суммы числовых множителей свойство);  8° λ(х + у) = λх + λу (распределительное относительно суммы элементов свойство).  Подчеркнем, что при введении понятия линейного пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения элемента на число (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам, сформулированным в данном выше определении).  Если же природа изучаемых объектов и вид правил образования суммы элементов и произведения элемента на число указаны (разумеется, эти правила должны быть указаны так, чтобы были справедливы свойства 1°-8°, перечисленные в данном выше определении в виде аксиом), то мы будем называть линейное пространство конкретным.  Приведем примеры конкретных линейных пространств.  Пример 1. Рассмотрим множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения указанных векторов и умножения этих векторов на числа определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (сложение векторов определим по правилу «параллелограмма»; при умножении вектора на вещественное число λ длина этого вектора умножается на |λ|, а направление при λ > 0 остается неизменным, а при λ < 0 — изменяется на противоположное).  Элементарно проверяется справедливость всех аксиом 1°-8° (справедливость всех аксиом, за исключением аксиомы 5°, установлена  в курсе аналитической геометрии, справедливость аксиомы 5° не вызывает сомнений).  Таким образом, множество всех свободных векторов в пространстве с так определенными операциями сложения векторов и умножения их на числа представляет собой линейное пространство, которое мы будем обозначать символом В₃.  Аналогичные множества векторов на плоскости и на прямой, также являющиеся линейными пространствами, мы будем обозначать соответственно символами B₂ и В₁.