Вопросы к зачету:
1.матрицы.основные операции над ними.
2.кв.матрица. диагональная и единичная матрицы. Примеры.
3.транспонированная матрица. Примеры.
4.элементарные строчные преобразования. Эквивалентные матрицы.
5.выражение определителя непосредственно через его элементы(для кв. матриц размера 2*2, 3*3)
6.минор кв. матриц, соответствующий эл-ту матрицы.
7.алгебраическое дополнение кВ. матрицы, соответствующ. Эл-ту матрицы.
8.вычмсление определителя путем разложения по любой строке(столбцу) матрицы.
9.свойства определителей(9).
10.невырожденные матрицы. пример.
11.обратная матрица.
12.формула для вычисления обратной матрицы.
13.основные свойства обратной матрицы.
14.ранг матрицы.
15. теория Кронекера-Капелли.
16.решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Формулы Крамера.
17. фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений( определения и теорема).
18. векторы на плоскости и в пространстве.
19.векторное пространство и его простейшие свойства.
20. размерность и базис векторного ространства.
21. переход к новому базису.
22.скалярное произведение. Евклидово пространство.
23.понятние линейного пространства.
24.линейный оператор. Действия над ними.
25.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
26. матричная запись лин.операторов.
27.зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах (теорема).
Ответы на вопросы:
1.Матрицы.Основные операции над ними:
Матрицей размера 
называется
прямоугольная таблица из тп чисел,
содержащая m строк
и п столбцов
и имеющая вид
Числа 
–
элементы матрицы. Они нумеруются двумя
индексами: i обозначает
номер строки, j
– номер
столбца, на пересечении которых находится
элемент 
.
Сокращенно матрицу изображают следующим
образом: A
,
или A
.
Обычно матрицы обозначают прописными
буквами латинского алфавита: А, B, С,
... . Если
у матрицы m строк
и п столбцов,
то по определению она имеет размерность
(порядок) т 
п.
Если m = n , то
матрицу называют квадратной и
говорят, что она имеет порядок n . Элементы
матрицы
,
у которых 
,
называются диагональными и
образуют главную
диагональ матрицы.
Для квадратной матрицы главную диагональ
образуют элементы 
.
Если
все недиагональные элементы квадратной
матрицы равны нулю, то матрица
называется диагональной.
Если в диагональной матрице 
,
то она называется скалярной.
Транспонированной по отношению к А является матрица AТ, получающаяся при замене строк столбцами:
В
литературе встречаются и другие
обозначения транспонированной матрицы,
например, 
.
Свойства операции транспонирования:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
.
В
случае если А
AТ
,
матрица А называется симметричной. У нулевой матрицы все
элементы равны нулю. Единичная
матрица –
это квадратная матрица, элементы главной
диагонали которой равны 1, остальные
элементы – 0. Если i =
1, то получаем матрицу-строку, если 
=1
– матрицу-столбец; они именуются
вектор-строкой и вектор-столбцом
соответственно. Квадратная матрица А,
все элементы которой ниже (выше) главной
диагонали равны нулю, называется правой
(левой) треугольной матрицей.
Матрицы А и В равны,
если они имеют одинаковую размерность
и 
.
Операции сложения и вычитания матриц
определяются только для матриц одинаковой
размерности.
Суммой (разностью) матриц A
и B
называется
матрица C
,
где 
.
Сокращенно эти операции можно представить
как С
А + В (С
А – В).
Произведением
матрицы A
на
число λ (или,
что то же самое, числа λ
на матрицу A)
является матрица B
,
где 
; 
.Обозначается
как В
λA.
Порядок
(«размеры») матрицы 
определяется
следующим образом: высота берется от
первого сомножителя, а ширина — от
второго.
!
При
этом произведение 
может
и не быть определено!
Пример:
Пример:
Пример:
Произведение
матрицы А размерности m
n на
матрицу В размерности n
k есть
матрица С размерности m
k,
элементы которой 
,
где 
и 
–
элементы матриц A и В соответственно.
Обозначается как C
AB. Из
определения следует, что
произведение АВ существует
только в случае, когда число столбцов
матрицы А равно
числу строк матрицы В.
Таким образом, из существования
произведения АВ не
следует существование произведения ВА.
В случае если произведения АВ и ВА имеют
смысл, то, как правило, АВ ≠ ВА.
Если АВ
ВА,
то матрицы А и В являются перестановочными,
или коммутирующими.
Однако всегда верны равенства
(АВ)С
А(ВС)
АВС.
Из определения суммы матриц, произведения матрицы на число и произведения матриц вытекают следующие свойства.
Коммутативность:
а) А + В = В + А,
б) А = А.
Ассоциативность:
а) А + (В + С) = (А + В) + С,
б) А(ВС) = (АВ)С,
в) (АВ) = (А)В = А(В),
г) ()А = (А) = (А).
Дистрибутивность:
а) (А + В) = А + В,
б) ( + )А = А + А,
в) А(В + С) = АС + ВС,
г) (А + В)С = АС + ВС.