3.2. Гармонический осциллятор

Уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора принимает вид

, (7)

где , - собственная частота (циклическая) осциллятора. Наша задача будет состоять в отыскании стационарных состояний, т.е. спектра собственных значений энергии Е и соответствующих собственных функций ψ из уравнения

(8)

при дополнительном условии нормировки

. (9)

Вводя обозначения

, , , (10)

получим уравнение для функции ψ =ψ(ξ)

,

,

разделим на

,

,

,

(11)

с дополнительным условием нормировки

,

тогда

. (12)

Решением этой задачи будут функции

,

, (13)

соответствующие собственным значениям

.

Энергия гармонического осциллятора

, при . (14)

• В классической механике энергия гармонического осциллятора

,

где - импульс частицы, может принимать непрерывный ряд значений.

• В квантовой механике энергия осциллятора, как показывает формула (14), может принимать лишь дискретный ряд значений. Говорят, что энергия квантуется. Число n, определяющее номер квантового уровня, называют главным квантовым числом. В низшем квантовом состоянии при п = 0 энергия осциллятора отлична от нуля и равна .

3.3. Ротатор

Найдем собственные значения энергии ротатора со свободной осью, т. е. частицы, вращающейся на одном и том же расстоянии вокруг неподвижного центра.

Потенциальная энергия U ротатора сохраняет одно и то же значение во всех положениях частицы, и ее можно положить равной нулю: U = 0.

В сферической системе координат (r,θ,φ) с началом координат в неподвижном центре уравнение Шрёдингера для ротатора

можно записать в сферической системе координат в виде

,

. (15)

При этом используется условие

.

Введем вместо массы μ момент инерции , тогда получим

или

, (16)

где

. (17)

Таким образом, мы пришли к краевой задачи на собственные значения для уравнения

,

при естественном граничном условии ограниченности в точках θ=0 и θ=π и условии нормировки

. (18)

Решениями этой задачи являются нормированные сферические функции

(19)

соответствующие собственным значениям

. (20)

Заменяя λ его значением согласно формуле (17), получаем формулу для квантованных значений энергии ротатора

,

, причем (21)

3.4. Движение электрона в кулоновском поле

Одной из простейших задач атомной механики является задача о движении электрона в кулоновском поле ядра, имеющая большой практический интерес, так как решение ее дает не только теорию спектра водорода, но и приближенную теорию спектров атомов с одним валентным электроном (водородоподобных атомов), например атома натрия.

В атоме водорода электрон находится в кулоновском электростатическом поле ядра (протона), так что потенциальная энергия U(x,y,z) равна

, (22)

где r есть расстояние электрона от ядра, -е -заряд электрона, +е -заряд ядра.

Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид

. (23)

Задача состоит в отыскании таких значений Е, для которых уравнение (23) допускает решение, непрерывное во всем пространстве и удовлетворяющее условию нормировки

. (24)

Запишем уравнение (23) в сферической системе координат с началом в ядре, которое предполагается неподвижным:

(25)

и будем искать решение в виде

. (26)

Принимая во внимание дифференциальное уравнение для сферических функций :

получаем:

. (27)

Введем в качестве единицы длины величину

,

в качестве единицы энергии — величину

.

Полагая

, < 0. (28)

Перепишем уравнение (27) в виде

,

. (29)

С помощью подстановки

, (30)

,

,

,

,

,

уравнение (29) приводится к виду

. (31)

Введя в качестве независимой переменной величину

, (32)

получим вместо (31) уравнение

(33′)

или

,

или

, (33)

где

(34)

совпадает с рассмотренным нами в §2.5 уравнением (21).

Найденные там собственные значения оказались равными

,

а собственные функции (определенные с точностью до постоянного множителя) через обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра :

. (35)

Учитывая, что , получаем:

.

Целое число п называется главным квантовым числом, п_r - радиальным квантовым числом, l — азимутальным или орбитальным квантовым числом.

Заменяя λ его выражением согласно формулам (34) и (28), получаем квантованные значения энергии

(36)

. (37)

Они зависят только от главного квантового числа п.

Перейдем теперь к определению собственных функций водородоподобного атома. Для этого в силу формулы (26) нам достаточно найти радиальные функции χ(ρ). Пользуясь формулами (30), (32), (34), (35), (36), можем написать

, (38)

где А_п — нормировочный множитель, определяемый из условия

. (39)

Вычисляя А_п, получаем следующее выражение для нормированных радиальных функций:

. (40)

В силу формул (26) и (19) нормированные собственные функции имеют вид

,

где - нормировочный коэффициент, определяемый формулой (40).

Число т (т = 0, ±1, ±2,..., ±l) называется магнитным квантовым числом. Так как п_r всегда неотрицательно (n_r = 0, 1, 2, ...), то при данном п в силу формулы

п = п_r + l + 1

квантовое число l не может быть больше п-1 (l= 0, 1, 2,..., п-1). Поэтому при определенном значении главного квантового числа п число l может принимать n значений: l = 0, 1,..., n-1, а каждому значению l соответствует (2l + 1) значений т. Отсюда следует, что заданному значению энергии Е_п, соответствует n² различных собственных функций. Таким образом, каждый уровень энергии имеет вырождение кратности п².

Найденный нами дискретный спектр отрицательных собственных значений энергии Е_п состоит из бесконечного множества чисел с точкой сгущения в нуле.