1.4. Норма полинома Чебышева-Эрмита

Докажем, что полиномы Чебышева-Эрмита образуют ортогональную с весом на бесконечной прямой <x< систему функций, и вычислим их норму:

. (12)

Рассмотрим выражение

.

Положим для определенности, что m ≤ n. Интегрируя по частям и пользуясь формулой (7), а также тем, что на бесконечности обращается в нуль произведение полинома на , получаем

,

так как . Отсюда видно, что

• если m < n

.

• Если m = n

.

Тем самым доказано, что

. (13)

Система полиномов Чебышева-Эрмита является полной, и, следовательно, мы нашли все решения задачи (10), т.е. не может быть собственным значением.

1.5. Функции Чебышева-Эрмита

В приложениях часто пользуются функциями Чебышева-Эрмита

(14)

образующими ортогональную и нормированную с весом систему на бесконечном интервале <x< :

. (15)

Эти функции обращаются в нуль при и удовлетворяют уравнению

при .

,

,

,

В результате мы получили уравнение для

, (16)

где .

§2. Полиномы Чебышева-Лагерра

2.1. Дифференциальная формула

Полиномы Чебышева-Лагерра определим при помощи производящей функции

. (1)

Разложим ее в степенной ряд

, . (2)

и пользуясь теоремой Коши, находим

, (3)

где C-контур, охватывающий точку . Введем новую переменную интегрирования z, положив , ; тогда

,

, (4)

где C₁-контур, охватывающий точку z=x. Используя теорию вычетов, получаем дифференциальную формулу для полиномов Чебышева-Лагерра

. (5)

Отсюда видно, что есть многочлен степени n.

2.2. Рекуррентные формулы

Дифференцируя по ρ и x, получаем два тождества:

, (6)

. (7)

Подставим в (6) и (7) ряд (2) и приравняем коэффициенты при нулю; это дает рекуррентные формулы

, (8)

. (9)

Формула (8) устанавливает связь между полиномами L_n+1, L_n, L_n-1 и позволяет последовательно определить все L_n, например

Выведем еще одну рекуррентную формулу. Для этого заменим в (8) n на n+1 и продифференцируем по х:

;

дважды применим формулу (9), исключим отсюда L'_n+2 и L'_n+1 и в результате получим (10):

,

,

,

,

. (10)

2.3. Уравнения Чебышева-Лагерра

Найдем уравнение, решением которого является L_n(x). Дифференцируя (10) по х, получим:

,

после чего исключим L'_n+1 при помощи (9). В результате приходим к уравнению для L_n

или (11)

которое называется уравнением Чебышёва-Лагерра.

Тем самым доказано, что L_n(x) есть собственная функция, соответствующая собственному значению λ=n следующей задачи:

найти значения λ, при которых уравнение

, 0<x< (12)

имеет нетривиальное решение, ограниченное при и возрастающее при не быстрее чем конечная степень x.

Замечание. Уравнение для полиномов Чебышева-Лагера (11) можно получить, если продифференцировать раза функцию и воспользоваться дифференциальной формулой (5).

2.4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лагерра

Докажем ортогональность и нормированность с весом е^-x полиномов L_n(x), исходя из формулы (5). Рассмотрим интеграл

.

• При m≤n. Интегрируя т раз по частям и учитывая, что из-за наличия множителя вида x^ke^-x (k > 0) все подстановки обращаются в нуль, получаем

. (13)

• при m<n. Интегрируя еще раз, находим J_mn=0, так как

.

• При m=n имеем

и

. (14)

Итак, полиномы Чебышёва-Лагерра образуют ортонормированную с весом е^-x систему функций:

. (15)