1.4. Ортогональность полиномов Лежандра

Докажем что полиномы Лежандра различных порядков ортогональны на отрезке .

Запишем уравнение Лежандра для двух полиномов

, (1)

, (2)

где , . Домножим (2) на (x), а (1) на (x), а затем вычтем (1) из (2):

,

проитегрируем по х и получим

. (3)

Если , то полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой:

. (4)

1.5. Норма полиномов Лежандра

Вычислим норму полиномов Лежандра

. (5)

Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n+1 на n) через и , а затем – через и . Учитывая ортогональность полиномов , , , получим:

Таким образом, мы получили рекуррентную формулу для нормы:

. (6)

Последовательное применение это формулы дает

.

Таким образом,

. (7)

Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд

,

который домножим на и проинтегрируем:

,

.

Система ортогональных функций называют замкнутой, если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы.

Система ортогональных функций называется полной в (a,b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации .

,

,

,

,

.

Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.

§2 Присоединенные функции Лежандра

2.1. Присоединенные функции

Рассмотрим следующую задачу:

найти собственные значения и собственные функции следующего уравнения

, -1<x<1, (1)

при условии ограниченности

. (2)

Будем искать решение в виде:

(3)

При подстановке (3) в (1) найдем

,

,

. (4)

Это же уравнение получается для производной решения уравнения Лежандра (17) из §1, если продифференцировать n раз.

, (4а)

Продифференцируем соотношение (4а) n раз, тогда получим

,(5)

, . (6)

Нетривиальное и ограниченное решение уравнения Лежандра существует при , где m>0. Соотношение (6) является решением уравнения (3), а функция

,

есть собственная функция исходной задачи (1) для собственных значений , где m-целые числа. - присоединенная функция Лежандра n-го порядка:

. (7)

Если n=0, то , лишь при .

2.2. Норма присоединенной функции

Согласно общей теоремы присоединенные функции образуют ортогональную систему. Вычислим норму и докажем ортогональность. Умножим уравнение (4) на (1-x²)^m и учтем (5).

(8)

Уменьшим n на 1:

(9)

. (10)

Введем обозначение:

Подстановка обращается в нуль, а интеграл в силу (10) и преобразуется к виду

,

, (11)

. (12)

Из этой рекуррентной формулы следует

Нетрудно показать, что

,

.

В результате получаем:

(13)

§3 Сферические функции

3.1. Сферические функции

Сферические функции проще всего могут быть введены при решении уравнения Лапласа для шаровой области методом разделения переменных. Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах:

,

,

где - угловая часть, - радиальная часть оператора Лапласа в сферических координатах.

, (1)

. (2)

Решение уравнения Лапласа для функции ищем в виде:

, (3)

,

. (4)

Для определения R(r) получаем уравнение Эйлера:

, (5)

где - константа разделения.

Для определения получаем уравнение

. (6)

Из условия ограниченности функции на сфере любого радиуса следует, что функция должна удовлетворять условиям , , а также .

Ограниченное решение уравнения (6), обладающие непрерывными производными до второго порядка, называются сферическими функциями.

Решение задачи для ищем также методом разделения переменных, полагая

. (7)

Функция удовлетворяет уравнению

.

Умножим на и поделим на (7)

,

, (8)

где m-константа разделения. Из (8) следует, что

. (9)

Задача для с условием периодичности имеет решение лишь при целом m, и линейно независимыми решениями являются функции и .

Функция определяется из уравнения и условий ограниченности при и :

, (10)

, (11)

, (12)

определенная в (12) есть решение (9).

Если потребовать выполнение условия

,

m-любое число m=0,1,-1,2,-2…

,

, m=0,1,-1. (14)

Выберем новую переменную и обозначая , получаем для уравнение присоединенных функций (15):

,

,

подставляем все в (10)

,

. (15)

Полученное уравнение является уравнением для присоединенных функций Лежандра

.

Потребуем, чтобы функции были нормированными

,

,

, (16)

, (17)

где , .

. (18)

Уравнение (6) имеет решение (18) при собственных значениях . Найдем несколько сферических функций

,

.

Легко проверить, что сферические функции являются ортонормированными, т.е. справедливо:

,

,

,

.

Кроме сферических функций используется понятие сферических гармоник, которые определяется следующим образом как линейная комбинация (2l+1) сферических функций:

,

Решение уравнения имеет вид:

.

Специфика заключается в нахождении радиальной части волновой функции R(r). Найдем решение уравнения Эйлера:

,

,

,

,

,

.

Тогда , есть решение для внутренней краевой задачи, а есть решение для внешней краевой задачи.