Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет» (КемГУ)

А. В. Копытов, И. А. Федоров

Практикум по специальным функциям Учебно-методическое пособие

Кемерово 2012

Составители: канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры теоретической физики А. В. Копытов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры теоретической физики И. А. Федоров.

Практикум по специальным функциям / сост. А. В. Копытов, И. А. Федоров; Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет». –Кемерово, 2012. – 63 с.

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов физического факультета. Оно соответствует требованиям федерального государственного образовательного стандарта для направления 011200.62 «Физика» и может применяться в курсах подготовки бакалавров по дисциплинам «Методы математической физики», «Квантовая теория», «Теоретическая механика», «Электродинамика».

Рекомендовано методической Утверждено на заседании

комиссией физического фа- кафедры теоретической фи-

культета «1» марта 2012 г. зики «1» марта 2012 г.

Председатель методической Заведующий кафедрой д-р

комиссии канд. хим. наук, физ.-мат. наук, профессор

доцент ______ Н. И. Гордиенок ________ А. С. Поплавной

Содержание

Глава I. Сферические функции

§1 Полиномы Лежандра 5

1.1. Производящая функция и полиномы Лежандра 5

1.2. Рекуррентные формулы 7

1.3. Уравнение Лежандра 8

1.4. Ортогональность полиномов Лежандра 9

1.5. Норма полиномов Лежандра 10

§2 Присоединенные функции Лежандра 11

2.1. Присоединенные функции 11

2.2. Норма присоединенной функции 13

§3 Сферические функции 14

3.1. Сферические функции 14

3.2. Ортогональность системы сферических функций 18

Упражнения 1 19

Глава II. Полиномы Чебышева-Эрмита и

Чебышева-Лагерра

§1 Полиномы Чебышева- Эрмита 20

1.1. Дифференциальная формула 20

1.2. Рекуррентные формулы 21

1.3. Уравнение Чебышева- Эрмита 21

1.4. Норма полинома Чебышева-Эрмита 22

1.5. Функции Чебышева-Эрмита 23

§2. Полиномы Чебышева-Лагерра 24

2.1. Дифференциальная формула 24

2.2. Рекуррентные формулы 25

2.3. Уравнения Чебышева-Лагерра 25

2.4. Ортогональность и норма

полиномов Чебышева-Лагерра 26

2.5. Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра 27

§3. Простейшие задачи для уравнения Шредингера 29

3.1. Уравнение Шредингера 29

3.2. Гармонический осциллятор 30

3.3. Ротатор 32

3.4. Движение электрона в кулоновском поле 34

Упражнения 2 38

Глава III. Цилиндрические функции

§1. Цилиндрические функции 40

1.1. Степенные ряды 41

1.2. Рекуррентные формулы 46

1.3. Функции полуцелого порядка 47

1.4. Асимптотические порядки цилиндрических функций 48

§2. Краевые задачи для уравнения Бесселя 49

§3. Различные типы цилиндрических функций 54

3.1. Функция Ханкеля 54

3.2. Функции Ханкеля и Неймана 56

3.3. Функции мнимого аргумента 59

Упражнения 3 61

Литература 62