2.2. Приклад розв’язування задачі на визначення похибок багаторазового сукупного вимірювання

Задача №6.1. Під час прямих вимірювань опору основного заземлення r_Х (рис.6.1) отримано наступні попарні результати:

r₁ = r_Х + r_У= 4,53 Ом;

r₁ = r_Х + r_У= 4,57 Ом;

r₂ = r_У + r_Z = 4,59 Ом;

r₂ = r_У + r_Z = 4,56 Ом;

r₃ = r_Х + r_Z = 4,62 Ом;

r₃ = r_Х + r_Z = 4,61 Ом.

Обчислити значення опорів r_Х , r_У та r_Z ; оцінити похибки та записати кінцевий результат вимірювання.

Розв’язання

Складаємо загальну систему умовних рівнянь по залежності (6.9) для шести m = 6 вимірювань та трьох n=3 шуканих величин:

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + а₁₃ х₃ - y₁ = φ₁.;

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + а₂₃ х₃ - y₂ = φ₂;

а₃₁ х₁ + а₃₂ х₂ + а₃₃ х₃ - y₃ = φ₃;

а₄₁ х₁ + а₄₂ х₂ + а₄₃ х₃ - y₄ = φ₄;

а₅₁ х₁ + а₅₂ х₂ + а₅₃ х₃ - y₅ = φ₅;

а₆₁ х₁ + а₆₂ х₂ + а₆₃ х₃ - y₆ = φ₆.

Тут відповідно х₁, х₂ та х₃ - це шукані опори заземлення r_Х , r_У та r_Z ; y_і – це результати наших вимірювань; φ_j - залишкова похибка. Так як здійснюється вимірювання тільки двох шуканих в одному вимірюванні, то наступні коефіцієнти нашої загальної системи: а₁₃= а₂₃= а₃₂= а₄₂= а₅₁= а₆₁= 0, що призводить до спрощення системи:

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ - y₁ = φ₁.; а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ - 4,53 = φ₁.;

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ - y₂ = φ₂; а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ - 4,57 = φ₂;

а₃₁ х₁ + а₃₃ х₃ - y₃ = φ₃; а₃₁ х₁ + а₃₃ х₃ - 4,59 = φ₃; (6.28)

а₄₁ х₁ + а₄₃ х₃ - y₄ = φ₄; а₄₁ х₁ + а₄₃ х₃ - 4,56 = φ₄;

а₅₂ х₂ + а₅₃ х₃ - y₅ = φ₅; а₅₂ х₂ + а₅₃ х₃ - 4,62 = φ₅;

а₆₂ х₂ + а₆₃ х₃ - y₆ = φ₆. а₆₂ х₂ + а₆₃ х₃ - 4,61 = φ₆.

У цій системі всі коефіцієнти а_ji = 1 (перед значенням опорів), а правій матриці підставлені результати вимірювань.

Записуємо систему нормальних рівнянь для правої матриці (6.28), використовуючи систему (4.12) для n =3:

b₁₁ х₁ + b₁₂ х₂ + b₁₃ х₃ = c₁.;

b₂₁ х₁ + b₂₂ х₂ + b₂₃ х₃ = c₂;

b₃₁ х₁ + b₃₂ х₂ + b₃₃ х₃ = c₃;

Визначаємо коефіцієнти для записаної системи (6.12) нормальних рівнянь, використовуючи значення параметрів у матриці (6.28). При цьому застосовуємо для n =3 наступні формули:

b₁₁ = = 1²+1²+1²+1² =4; (х₁ повторюється у першій колонці 4 рази, а коефіцієнти при ньому =1); відповідно: b₂₂ = =4; b₃₃ = =4;

b₁₂=b₂₁= =2; b₁₃=b₃₁= =2; b₂₃=b₃₂= =2;

Подальші розрахунки підтвердити при проведенні практичного заняття !

Визначити вільні члени системи, підставивши значення одиночних РВ із матриці 4.28

c₁= = y₁+ y₂+ y₃+ y₄ = 18,25;

c₂= = y₁+ y₂+ y₅+ y₆ = 18,33;

c₃= = y₁+ y₂+ y₃+ y₄ = 18,38.

Визначити головний показник D системи, використовуючи рівняння (4.20) та значення коефіцієнтів::

D =b₁₁ b₂₂ b₃₃+ b₁₂ b₂₃ b₃₁ + b₁₃ b₂₁ b₃₂ - b₃₁ b₂₂ b₁₃ - b₃₂ b₂₃ b₁₁ - b₃₃ b₂₁ b₁₂= 32.

Визначити три частинних визначника, використовуючи 4.21, 4.22 та 4.23:

D₁= c₁ b₂₂ b₃₃+ b₁₂ b₂₃ c₃ + b₁₃ c₂.b₃₂ - c₃ b₂₃ b₁₃ - b₃₂ b₂₃ c₁ - b₃₃ c₂ b₁₂ = 72,16;

D₂ = b₁₁ c₂. b₃₃+ c₁ b₂₃ b₃₁ + b₁₃ b₂₁. c₃ - b₃₁ c₂.b₁₃- c₃ b₂₃ b₁₁ - b₃₃ b₂₁ c₁ = 73.44;

D₃ = b₁₁ b₂₂ c₃+ b₁₂ c₂b₃₁ + c₁ b₂₁. b₃₂ – b₃₁ b₂₂ c₁ - b₃₂ c₂.b₁₁ - c₃ b₂₁ b₁₂ = 74,24.

Визначити вірогідні значення трьох невідомих Х₁ , Х₂ та Х₃ за

формулами 4.16, 4.17 та 4.24:

= D₁ / D =72,16/32=2,255; = D₂ / D =73,44/32 =2,295;

= D₃ / D =74,24/32 = 2,32.

Для оцінки точності отриманих результатів підставляємо вірогідні значення у систему (4.28) та вираховуємо залишкові похибки:

+ - 4,53 = φ₁.= +0,02;;

+ - 4,57 = φ₂ = -0.02;

+ - 4,59 = φ₃ = -0,015;

+ - 4,56 = φ₄ = +0,015;

+ - 4,62 = φ₅ = -0,005;

+ - 4,61 = φ₆ = +0,005;

Обчислити суму квадратів шести залишкових похибок:

= = 0,0013.

Визначити середньоквадратичні відхилення результатів сукупного вимірювання при n=3:за формулами 4.25, 4.26 та 4.27:

=0,012747548; =0,0127475484;

=0,012747548.

Оскільки в нашому випадку проведено шість m = 6 вимірювань з трьома невідомими n=3 , то m - n+1 = 4. Із табл..1 для розрахованого числа вибираємо коефіцієнт Стьюдента для довірчої ймовірності 0,98: t_p = 3,182.

Розраховуємо надійні межі випадкової похибки за формулою (1.13):

Δ_р = t_p =0,012747548*3,182 =0,040562697 ≈ 0,04 Ом.

Записуємо результати сукупних вимірювань за Р_Д = 0,95 (вірогідні значення шуканих округлені до знаку округлення Δ_р):

r_Х = (2,26 ± 0,04) Ом;

r_У = (2,30 ± 0,04) Ом;

r_Z = (2,32 ± 0,04) Ом.