5.6. Корреляция.

В гидрологии многие процессы обусловлены большим числом факторов, полный учет которых оказывается затруднительным и соответственно построение строго функциональных связей не возможно. Поэтому используют статистические связи между главными факторами, вносящими основной вклад в формирование изучаемого явления.

Способ выявления статистических связей между переменными величинами называется корреляция, а сами зависимости называются корреляционные.

При изучении гидрологических характеристик встречают преимущественно корреляционные зависимости, имеющие корреляционный характер, т.е. графически изображаются прямыми линиями.

Прямую линию, проведенную по нанесенным на график точкам так, чтобы сумма квадратов отклонения от ее ординат у точек была наименьшей наз. линия регрессии y по x.

Прямая, соответствующая наименьшей сумме квадратов отклонений абсцисс x называется линия регрессии y по x , и дает наиболее вероятные значения х, отвечающие заданным значениям у. Точка пересечения линии регрессии соответствует средним значениям переменных х_ср. и у_ср..

Линейная корреляция получила широкое применение для установления зависимости между соответствующими гидрологическими характеристиками в двух и более рядах.

Количественная оценка тесноты связи (степени связанности) между рассматриваемыми величинами характеризуется коэффициент корреляции r:

r = ∑ (X_i – X_ср.) * (Y_i – Y_ср.) / √ (∑ (X_i – X_ср.)² * ∑ (Y_i – Y_ср.)²) = ∑ (∆X * ∆Y) / ((n - 1) * σ_x * σ_y), где:

x_ср., y_ср. – среднеарифметическое значение членов каждого ряда;

x_i, y_i – значения членов рассматриваемых рядов;

σ_x , σ_y - среднеквадратичное отклонение рядов.

Значения коэффициента корреляции могут изменяться в пределах от -1 до +1. Чем ближе r к 1, тем связь теснее. В пределах r =±1 связь получается функциональной, r = 0 – всякая связь между переменными отсутствует. Положительное значение коэффициент r свидетельствует о прямой связи, когда обе величины х и у возрастают и убывают одновременно. Отрицательное значение r говорит о том, что х увеличивается при уменьшении у, и наоборот – обратная связь.

Среднеквадратическое отклонение r при достаточно большом числе членов ряда (n ≥ 25) определяют:

σ_r = (1 – r²) / √ (1 - n).

При малом числе ряда (n < 25) оценку достоверности неслучайности коэффициента r производят с помощью коэффициента достоверности K_{д ,} который равен отношению:

K_д = r / σ_r = |r| * √ (1 - n) / (1 – r²).

При K_д < 1 корреляционная связь отсутствует; 3 > K_д > 1 – тенденция связи данных величин; K_д = 3 – r считается достоверным.

Линейную корреляционную связь можно представить аналитически уравнениями регрессий Y(X) и X(Y):

Y – Y_ср. = r * (σ_y / σ_x) * (X – X_ср.) и X – X_ср. = r * (σ_y / σ_x) * (Y – Y_ср.), где: (5.34) и (5.35)

r * (σ_y / σ_x), r * (σ_y / σ_x) - коэффициенты регрессии, представляют угол наклона прямой регрессии соответственно к оси ординат и оси абсцисс.

Абсолютные среднеквадратичные ошибки в определении х и у по (5.34) и (5.35) находят:

∆ε_y = ± σ_y * √ (1 – r²);

∆ε_x = ± σ_x * √ (1 – r²).

Аппарат корреляции широко используется в гидрологических расчетах для проведения параметров короткого ряда наблюдений к параметрам длительного ряда. При этом имеется в виду, что характеристика (аргумент) имеет более продолжительный ряд наблюдений, чем подлежащая определению гидрологическая величина (функция).

Корреляцию ряда величин ,например среднегодовых расходов воды с этим же рядом (внутренняя корреляция) сдвинутым на некоторый интервал времени (1,2,3 и т.д. года) называется автокорреляция. Она обычно учитывается при расчете водохранилищ многолетнего регулирования стока.