5.4. Построение теоретических (аналитических) кривых распределения. Определение их параметров.

По эмпирическим кривым при достаточном радионаблюдении можно установить величину расхода заданной обеспеченности (вероятность их превышения) или с какой вероятностью будет обеспечиваться заданный расход за период наблюдений.

(рисунок)

Однако при проектировании некоторых сооружений может потребоваться определение величины расхода с обеспеченностью, выходящей за пределы экспериментальной кривой. Такая кривая не даёт возможности непосредственно решить вопрос о расходах за пределами фактических наблюдений, т.к. экстраполяция её не определена. Поэтому в гидрологии применяют теоретические (аналитические) кривые распределения для более точной экстраполяции эмпирической кривой обеспеченности. Теоретические кривые строят на основании математических кривых распределения, наиболее полно отражающих характер изменчивости гидрологических характеристик. В гидрологических расчётах для сглаживания и экстраполяции эмпирических кривых распределения в последние годы преимущественно используются кривые трёхпараметрического γ–распределения, разработанные советскими учёными Критским и Менкелем, практически применимые при любом соотношении (C_V / C_S).

При (C_S ≥ 2 *C_V) СНиП допускает применение биноминальной кривой распределения (кривой Пирсена 3-его типа).

Ординаты аналитических кривых распределения определяются по 3-ём параметрам:

- среднему многолетнему значению расхода воды Q_ср. = ∑ (Q_i / n);

- коэффициенту вариации С_V = σ_a / Q_ср.;

- и отношению С_S / C_V.

Коэффициенты C_V и C_S устанавливаются по гидрометрическим рядам наблюдений методом наибольшего правдоподобия или методом момента. В инженерной гидрологии широкое применение получил метод наибольшего правдоподобия. Сущность его заключается в том, что в качестве оценки численного параметра аналитической кривой принимается такое его значение, при котором произведение вероятностей наблюдаемых величин (функция правдоподобия) достигает наибольшего возможного значения, т.е. максимального произведения плотности вероятности. Этот метод практически незаменим при большом изменении стока C_V > 0,5, т.к. учитываются логарифмы модульных коэффициентов. Значение коэффициента C_V, отношение C_V / C_S устанавливается по специальным монограммам в зависимости от логарифмических статистик λ₂ и λ₃, т.е.:

(C_V ; C_S / C_V ) = f (λ₂; λ₃).

Статистики λ₂ и λ₃ определяются по формулам:

λ₂ = ∑ lg k_i / (n - 1) и λ₃ = k_i * ∑ lg * k_i / (n - 1), где k_i = Q_i / Q_ср., где:

k_i – модульный коэффициент;

Q_i – погодичные расходы воды;

Q_ср. – среднее многолетнее значение расхода.

Следует иметь в виду, что эти монограммы разработаны применительно к кривым трёхпараметрического γ–распределения. Модульные коэффициенты (k_P) определяются по таблицам, составленным для этого типа распределения при значениях обеспеченности (Р), изменяющихся от 0,01 до 99,9%. Отношение C_V / C_S = 0,5…6; C_V = 0,1…2.

Зная k_P, расход воды заданной обеспеченности находят: Q_P = k_P * Q_ср..

Метод моментов для определения параметров Q_ср., C_V, C_S заключается в том, что эмпирическая кривая заменяется такой теоретической кривой, моменты площади которой равны моментам площади эмпирической кривой.

Моментами отдельных ординат кривой распределения наз.произведение этих ординат на расстояние до той ординаты, относительно которой ведётся исчисление. При использовании метода моментов коэффициенты вариации и асимметрия определяются по приведённым ранее формулам, в которые вводятся поправочные коэффициенты. Если не представляется возможным произвести расчёт коэффициентов вариации и асимметрии по методу наибольшего правдоподобия или по методу моментов, то допускается применять графоаналитические и графические методы. Графический метод основывается на использовании клетчаток вероятностей, справляющих функцию распределения.

5.5. Оценка точности расчёта параметров кривых распределения гидрологических характеристик.

Расчёт параметров кривых распределения X_ср., C_V, C_S ведётся по ограниченным рядам наблюдаемых гидрологических характеристик, представляющих лишь часть многолетнего ряда, которым мы в действительности не располагаем. В связи с этим важно оценить точность расчёта параметров при той или иной длительности ряда. Так стандартную ошибку среднего арифметического определяют по зависимости:

σ_Xср. = σ / √ n.

Соотносительно относительная среднеквадратическая ошибка: ε_Xср. = ± (C_V / √ n) * 100%.

Т.е. она зависит не только от длительности ряда, но и от степени его изменчивости. Относительная среднеквадратическая ошибка коэффициента вариации в % определяется:

ε_Cv = ± √ (1 + C_V² / 2 * n) * 100%.

Относительную ошибку коэффициента симметрии в % рассчитанным методом моментов можно вычислить по формуле:

ε_Cs = ± (1 / С_S) * √ ((6 / n) * (1 + 6 * C_V² + 5 * C_V⁴)) * 100%.

При использовании метода наибольшего правдоподобия относительная среднеквадратическая ошибка коэффициента вариации (%):

ε_Cv = ± √ (3 / 2 * n * (3 + C_V²)) * 100%.

В гидрологических расчётах рассчитанную ошибку коэффициента вариации сравнивают с допустимой, обычно нормируемой в пределах 10-15%. Если вычисленная ошибка превышает допустимую, то ряд наблюдений считается недостаточным.