3.5 Инвариантность формы дифференциала

Найдем выражение для дифференциала сложной функции.

Пусть , , то есть .

Тогда следовательно,

Но поэтому Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство называется свойством неизменности, или инвариантности, дифференциала.

3.6 Таблица производных

Используя полученные формулы и свойства производных, найдем производные основных элементарных функций.

1. Если , то , поэтому .

2. , где – натуральное число. Тогда по формуле бинома Ньютона можно представить Следовательно, .

3. y = sinx,

4. y = cosx,

5. 

6. Аналогично можно получить формулу

7. (см. 2-е следствие из второго замечательного предела).

8. (см. 1-е следствие из второго замечательного предела).

9. Таким же образом можно найти производные остальных гиперболических функций.

10. По формуле производной обратной функции . . . .

11. Если – произвольное действительное число, то

.

В результате получена таблица основных производных:

№	f(x)	f΄(x)	№	f(x)	f΄(x)
1	C	0	9	ctgx
2	xα	αxα-1	10	shx	chx
3	ax	axlna	11	chx	shx
4	ex	ex	12	thx
5	lnx		13	cthx
6	sinx	cosx	14	arcsinx
7	cosx	-sinx	15	arccosx
8	tgx		16	arctgx
			17	arcctgx

3.7 Метод логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции

Логарифмическим дифференцированием называется вычисление производной от логарифма функции .



,

Решение:

, ОДЗ .

.

.

Применение предварительного логарифмирования часто упрощает вычисление производной.

Пусть на некотором множестве значений аргумента и дифференцируема на этом множестве. Тогда по формуле производной сложной функции

откуда . (3.9)

Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда производную натурального логарифма данной функции найти проще, чем производную самой функции.





=

Определения 3.5. Функция вида называется показательно степенной. Ее производная должна вычисляться с помощью логарифмического дифференцирования (обратить внимание, что формулы для показательной и степенной функций не подходят!)



, .

,

.

3.8 Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

Если уравнение неявно задает функцию , то для того, чтобы найти производную от этой функции необходимо продифференцировать правую и левую часть тождества, помня, что - независимая переменная, а - неизвестная функция от .

Если функция задана в виде: , причем функция имеет обратную функцию , то , и

. (3.10)

Полученная формула дает возможность находить производную функции, заданной параметрически, без определения непосредственной зависимости у от х.



, – параметрические уравнения кривой, называемой циклоидой. Найдем : , , .