3.2 Дифференцируемость функции. Дифференцируемость функции, ее связь с непрерывностью. Дифференциал функции, его геометрический смысл

Определение 3.4. Если приращение функции при можно представить в виде

, (3.2)

где , то называется дифференцируемой при , а называется главной линейной частью приращения или дифференциалом функции.

Обозначение: .

Замечание. Так как при получаем , можно обозначать .

Теорема 3.1. Критерий дифференцируемости функции.

Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только в том случае, если она имеет в этой точке производную.

Доказательство.

Если для существует , то , где – бесконечно малая при . Тогда . Следовательно, функция дифференцируема при , причем .

Пусть дифференцируема при , то есть ее приращение имеет вид (3.2). Тогда . Таким образом, имеет производную в точке , равную А.

Что и требовалось доказать

Следствие. Дифференциал функции можно представить в виде , а производную – в виде .

Теорема 3.2. Необходимое условие непрерывности функций.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Из формулы (3.2) следует, что , что и означает непрерывность при .

Что и требовалось доказать

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x| непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график функции и проведем касательную к нему при . Тогда при приращении аргумента приращение функции равно длине отрезка BD, а приращение ординаты касательной равно длине отрезка CD. Следовательно, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной.

Линеаризация функции

Так как истинное значение приращения функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем , при приближенных вычислениях можно заменять на , то есть считать, что . При этом функция для значений , близких к , приближенно заменяется линейной функцией. Эта операция называется линеаризацией функции.

Найдем приближенное значение . Пусть Тогда

3.3 Свойства производной (правила дифференцирования)

Пусть при рассматриваемых значениях х существуют производные функций и , то есть эти функции являются дифференцируемыми при данных значениях аргумента. Сформулируем и докажем некоторые свойства производных.

1. Производная суммы двух функций равна сумме производных

(3.3)

Доказательство.

2. Константа выносится за знак производной

где . (3.4)

Доказательство.

3. Производная произведения

(3.5)

Доказательство.

так как в силу непрерывности .

4. Производная частного

Если , то (3.6)

Доказательство.

3.4 Производная сложной и обратной функций

Теорема 3.3. Дифференцируемость сложной функции

Если функция имеет при некотором значении производную , а функция имеет при соответствующем значении производную , то сложная функция тоже имеет при данном значении х производную, равную

. (3.7)

Доказательство.

Так как то по третьему определению предела можно представить

где при Тогда Разделив обе части равенства на Δх, получим:

. Переходя к пределу при , получаем: так как

Теорема 3.4. Дифференцируемость обратной функции

Ели для функции существует обратная функция , которая в некоторой точке имеет производную , то в соответствующей точке функция тоже имеет производную, причем

. (3.8)

Доказательство.

Так как непрерывна, при , и при переходе к пределу при получаем: .