Содержание

3 Дифференциальное исчисление 2

3.1 Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции 2

3.2 Дифференцируемость функции. Дифференцируемость функции, ее связь с непрерывностью. Дифференциал функции, его геометрический смысл 3

3.3 Свойства производной (правила дифференцирования) 4

3.4 Производная сложной и обратной функций 5

3.5 Инвариантность формы дифференциала 6

3.6 Таблица производных 6

3.7 Метод логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции 7

3.8 Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически 8

3.9 Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства 8

3.10 Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля 10

3.11 Теоремы Лагранжа и Коши 11

4 Применение производной 12

4.1 Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. 12

4.2 Уравнение касательной к графику функции. 14

4.3 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа 14

4.4 Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора 16

4.5 Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия 17

4.6 Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке 19

4.7 Исследование выпуклости функции. Точки перегиба, их нахождение 20

4.8 Асимптоты функций 22

4.9 Общая схема исследования функции и построения ее графика 23

3 Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление – часть математического анализа, изучающая свойства и применение производных и дифференциалов числовых функций.

3.1 Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции

Рассмотрим функцию , заданную в окрестности точки х₀.

Определение 3.1. Если существует конечный предел , то он называется производной функции в точке .

Обозначение: . (3.1)

Разность называется приращением аргумента, а - приращением функции. Таким образом, можно определить производную как .



С помощью определения производной найти производную функции

Решение:

О.Д.З.

О.Д.З.

т.к. точка - любая точка из области определения , то

Геометрический смысл производной.

Р

Рисунок 3.1 - Геометрический смысл производной функции

ассмотрим график функции и проведем секущую через точки А с абсциссой и В с абсциссой . Если обозначить разность ординат этих точек , то тангенс угла α, образованного секущей с осью Ох, можно представить так: . Если , точка В перемещается по кривой, приближаясь к точке А, и секущая при совпадении точек В и А превращается в касательную к графику функции, образующую с осью Ох угол α₀. При этом Следовательно, значение производной при данном значении равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в точке с соответствующим значением х с положительным направлением оси Ох.

Механический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение тела, для которого пройденное расстояние есть функция от времени: . Среднюю скорость за время можно определить по формуле:

. Для определения мгновенной скорости тела в данный момент времени устремим к нулю. Получим: Таким образом, производная от расстояния в данный момент времени равна мгновенной скорости движения в этот момент. Соответственно производная любой функции при данном значении аргумента равна скорости изменения этой функции при рассматриваемом .

Определение 3.2. Производной функции справа от точки или правой производной называется

,

Определение 3.3. Производной функции слева от точки , или левой производной

.

Если производные функции слева и справа от точки не равны, то производная в этой точке не существует.



Найти левую и правую производную функции в точке . Сделать вывод о существовании производной.

Решение.

.

.

Производная этой функции в точке не существует.