16. Геометрическая интерпретация игры 2х2. Геометрическая интерпретация игры 2хn.

Решение игры с матрицей (2x2) можно найти графически. Для этого на оси абсцисс отложим отрезок, длина которого равна единице. Левый конец отрезка (точка х=0) соответствует стратегии А1 , правый – стратегии А2 . Промежуточные точки х соответствуют некоторым смешанным стратегиям (х1,х2), где х1=1-х, х2=х.

Из концов выбранного отрезка восстановим перпендикуляры и будем откладывать на них выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В принимает стратегию В1, то выигрыш при использовании чистых стратегий А1 и А2 будет соответственно а11 и а21. Отложим эти точки на перпендикулярах к оси абсцисс и соединим прямой В1В1. Если игрок А применяет смешанную стратегию, то его выигрышу соответствует некоторая точка М, лежащая на этой прямой.

Аналогично можно построить прямую В2В2, соответствующую стратегии В2 игрока В.

Ломанная В1КВ2 – нижняя граница выигрыша, полученного игроком А. Точка К, в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение.

Замечание. Можно рассмотреть задачу минимизации верхней границы выигрыша для игрока В, поменяв местами при решении игроков А и В.

Если игра задана матрицей (2хn), то можно найти ее решение, используя геометрическую интерпретацию. Каждой из n стратегий игрока В соответствует прямая. Построив эти прямые, находят нижнюю границу выигрыша. Точка К, лежащая на нижней границе, для которой величина выигрыша наибольшая, определяет цену игры и ее решение. При этом определяются активные стратегии игрока В (соответствующие им прямые пересекаются в точке К).

Аналогично может быть решена игра с матрицей (mx2), только в этом случае определяют верхнюю границу выигрыша и на ней находят минимум.

17. (4) Математическая постановка транспортной задачи. Условие разрешимости транспортной задачи. Метод минимального элемента построения начального базисного решения.

Простейшими транспортными задачами являются задачи о перевозках некоторого однородного груза из пунктов отправления (от поставщиков) в пункты назначения (к потребителям) при обеспечении минимальных затрат на перевозки.

Математически задача сводится к нахождению минимума целевой функции, выражающей суммарные затраты на перевозку груза, т.е. функции

При ограничениях :

Любое решение транспортной задачи (x11, x12,…, xkl) называется распределением поставок. Так как поставки не могут быть отрицательными, то речь идет только о допустимых решениях.

Оптимальному решению транспортной задачи соответствует оптимальное распределение поставок, при котором целевая функция достигает своего минимума.

Ограничение (1) и условия неотрицательности переменных, исключающие обратные перевозки xij>0;

i= 1, 2, …, k;

j= 1, 2,., l.

Эти условия образуют систему ограничений. Любой план, компоненты которого удовлетворяют этой системе, будет допустимым.

Как видим, система ограничений задана в основном (k + l) уравнениями. Установим условия, при которых эта система будет совместной, т.е. будет иметь решения.

Сложим элементы xij матрицы перевозок по строкам, каждая строка в сумме дает Mi, и в итоге получим . Сложим те же элементы по столбцам, каждый столбец дает Nj, и в сумме получим . Но от перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому для любого допустимого плана обязательно будет выполняться условие

(равенство является необходимым условием совместности ограничений задачи).

Равенство запасов потребностям есть необходимое и достаточное условие совместности и, следовательно, разрешимости транспортной задачи.

При построении первоначального плана по способу северо-западного угла совершенно не учитываются тарифы, потому план получается весьма далеким от оптимального. Для решения задачи приходится делать много приближений (шагов).

Способ минимального элемента учитывает тарифы и потому позволяет найти план, более близкий к оптимальному.

Этот способ заключается в следующем:

1. Располагаем все клетки таблицы в очередь по мере возрастания тарифов, начиная с минимального.

линейное программирование транспортная задача

2. В клетку с минимальным тарифом записываем наибольшую возможную перевозку (исходя из запасов и потребностей), затем заполняем очередную по порядку клетку и т.д., пока не получим план. При этом должен строго соблюдаться баланс по строкам и столбцам. Пустые клетки прочеркиваем, а не заполняем нулями (чтобы было видно, что они не входят в план).

Полученный план будет ациклическим и будет состоять не более чем из k+l-1 компонент. Этот план и принимаем за исходный. Он будет лучше плана, построенного по способу северо-западного угла, и для нахождения оптимума потребуется меньше вычислений.