28. Основные понятия теории игр, классификация игр. Платежная матрица. Цена игры. Решение игры в чистых стратегиях. Упрощение игры. Дублирующие и доминируемые стратегии.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта - выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

1) варианты действий игроков;

2) объём информации каждого игрока о поведении партнёров;

3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т. е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а - выигрыш одного из игроков, b- выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность - оптимальным решением, или решением игры. Решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклонятся от своей оптимальной стратегии.

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегий S* A, S* В в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v.

Упрощение (уменьшение размерности) платёжных матриц за счёт исключения заведомо невыгодных чистых стратегий возможно в силу справедливости следующей Теоремы о доминирующих стратегиях:

Пусть I - игра, в матрице которой i -я стратегия первого игрока доминирует над i +1, а G - игра, матрица которой получена из матрицы I исключением i + 1 стратегии (строки). Тогда

1. цена игры I равна цене игры G;

2. оптимальная смешенная стратегия Q*= (q1*,q2*,…,qn*) второго игрока в игре G является также его оптимальной смешанной стратегией в игре I;

3. если P*= (p1*,p2*,…,pi*, p*i+2,…, pm*) оптимальная смешенная стратегия первого игрока в игре G, то его смешенная стратегия P*= (p1*,p2*,…,pi*, p*i+2,…, pm*) является оптимальной в игре I.

Доминирования стратегий.

Если i-я строка поэлементно не меньше (≥) j-й строки, то говорят, что i-я строка доминирует над j-й строкой.

Аналогично, если i-й столбец поэлементно не меньше (≥) j-го столбца, то говорят, что j-й столбец доминирует над i-м столбцом.

Стратегии, над которыми доминируют другие стратегии, надо отбросить и приписать им нулевые вероятности. На цене игры это никак не скажется. Зато размер матрицы игры понизится. С этого и нужно начинать решение игры.

Дублирование стратегий.

Если платёжная матрица игры содержит несколько одинаковых строк (столбцов), то из них оставляем только одну строку (один столбец то из них оставляем только одну строку нулевых строк решение к уменьшению среднего выигрыша игрока ), а остальные строки (столбцы) отбрасываем. Отброшенным стратегиям припишем нулевые вероятности.