1.2.Двоичная система счисления

Наибольшее распространение получила двоичная система счисления, В этой системе для представления любого числа используются два символа — цифры 0 и 1. Основание системы счисления q = 2.

Произвольное число с помощью формулы можно представить в виде разложения по степеням двойки. Тогда условная сокращенная запись в соответствии означает изображение числа в двоичной системе счисления (двоичный код числа), где ai =0 или 1

101101_{2} = 1*2^{5} + 0*2^{4} + 1*2^{3} + 1*2^{2} + 0*2^{1} + 1*2^{0} = 63_{10}

Например: 15,625= 1*2^{3}+1*2^{2}+1*2^{1}+1*2^{0}+1*2^{-1}+0*2^{-2}+1*2^{-3}=1111,101_{2}

1.2.Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления алфавит состоит из восьми символов (цифр): 0, 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы счисления q = 8. Для записи произвольного числа в восьмеричной системе счисления необходимо найти его разложение по степеням восьмерки, а затем воспользоваться условной сокращенной записью.

Например, десятичное число 53_{10} = 65_{8}

1.3.Шестнадцатеричная система счисления В шестнадцатеричной системе счисления алфавит включает в себя 16 символов (цифр и букв) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F. Основание системы счисления q = 16. Для записи произвольного числа в этой системе счисления необходимо найти его разложение по степеням 16, а по формуле — код.

1.4.Двоично-десятичное кодирование. Наряду с двоичными кодами, которыми оперирует ЭВМ, для ввода и вывода десятичных чисел (данных) используют специальное двоично-десятичное кодирование. При двоично-десятичном кодировании каждая десятичная цифра заменяется тетрадой (четверкой) двоичных цифр, а сами тетрады записываются последовательно в соответствии с порядком следования десятичных цифр. При обратном преобразовании двоично-десятичного кода в десятичный исходный код разбивается на тетрады вправо и влево от запятой, которые затем заменяются десятичными цифрами.

Таким образом, при двоично-десятичном кодировании фактически не производится перевод числа в новую систему счисления, а мы имеем дело с двоично-кодированной десятичной системой счисления.

Например, десятичное число 12_{10} =C_{16}=14_{8}=1100_{2}=00010010_{2-8}.

2.Преобразование чисел

Преобразование числа Х из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием р осуществляется по правилу замещения или по правилу деления-умножения на основание системы счисления.

2.1.Правило замещения Правило замещения предусматривает выполнение арифметических операций с кодами чисел в новой системе счисления. Поэтому оно чаще всего используется для преобразования чисел из недесятичной системы счисления в десятичную.

Пример.

111011,011_{2}=1*2_{4}+0*2_{3}+1*2_{2}+0*2_{1}+1*2_{0}+0*2{-1}+1*2_{-2}+1*2_{-3}=59,375

2.2.Правило деления-умножения Правило деления-умножения предусматривает выполнение арифметических операций с кодами чисел в исходной системе счисления с основанием q, поэтому его удобно применять для преобразования десятичных чисел в любые другие позиционные системы счисления. Правила преобразования целых чисел и правильных дробей различны. Для преобразования целых чисел используется правило деления, а для преобразования правильных дробей — правило умножения. Для преобразования смешанных чисел используются оба правила соответственно для целой и дробной частей числа.

Правило деления используется для преобразования целого числа, записанного в q-ичной системе счисления, в р-ичную. В этом случае необходимо последовательно делить исходное q-ичное число и получаемые частные на новое основание р, представленное в q-ичной системе счисления. Деление продолжают до тех пор, пока очередное частное не станет меньше р. После замены полученных остатков и последнего частного цифрами р-ичной системы счисления записывается код числа в повои системе счисления. При этом старшей цифрой является последнее частное, а следующие за ней цифры соответствуют остаткам, записанным в последовательности, обратной их получению.

Правило умножения используется для преобразования дробного числа, записанного в q-нчнон системе счисления, в р-ичпую. В этом случае необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание р, представленное в исходной q-ичной системе счисления. Целые числа получаемых произведений, замененные цифрами р-ичной системы счисления, и дают последовательность цифр в новой р-ичной системе.

Умножение необходимо производить до получения в искомом р-ичном коде цифры того разряда, вес которого меньше веса младшего разряда исходной q-ичной дроби. При этом в общем случае получается код приближенно, и всегда с недостатком значения дроби. Поэтому в случае обратного преобразования (р-ичпого кода дроби в q-ичный) результат может не совпадать с исходным значением q-ичной дроби.

Пример. 95_{10} = \dfrac{ 95 } {2 } = 1011111_{2}.

Для получения частных и остатков по правилу деления для целой части числа удобно использовать формулу записи, известную под названием «деление в столбик», а для получения р-ичного кода дробной части числа по правилу умножения — форму записи, известную под названием «умножение столбиком».

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно.

Перевод между основаниями, составляющими степень 2. Для того, чтобы из восьмеричной системы счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Например: 1234.7778 = 001 010 011 100.111 111 1112 = 1 010 011 100.111 111 1112 Обратный перевод: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой, при этом, если необходимо, число выравнивается путем дописывания нулей перед целой частью или после дробной. Например: 11001112 = 001 100 1112 = 147_{8}

Перевод числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Выравнивание.

При переводах между двоичной и шестнадцатеричной СС используются четверки цифр. При необходимости выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем. Например: 0.1234AA16 = 0.0001 0010 0011 0100 1010 10102.

Переход из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное и обратно.

При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется вспомогательный двоичный код числа. Например: 12345678 = 001 010 011 100 101 110 1112 = 0101 0011 1001 0111 01112 = 53977162.