6.4 Логические функции двух переменных.

Логическая функция (функция алгебры логики ФАЛ) - функция f(x₁, x₂, … , x_n), принимающая значение , равное нулю или единице на наборе логических переменных x₁, x₂, … , x_n.

Логическую функцию можно задать двумя способами: логической формулой или таблицей истинности. Таблица истинности задаёт значения функции на всех возможных наборах её переменных.

В алгебре логики строго доказывается, что для n переменных количество различных наборов равно2ⁿ ,а количество логических функций для n переменных равно 2 в степени 2ⁿ Рассмотрим все возможные наборы для одной переменной, для двух и трёх переменных.

Для одной переменной таких наборов два:0,1.

Для двух переменных наборов четыре:

0 0

0 1

1 0

1 1

Для трёх переменных наборов восемь:

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

В таблице 6.1. представлены различные логические функции двух переменных.

Таблица 6.1. Логические функции двух переменных

X1	X2	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

1. Конъюнкция (логическое умножение, союз и) – функция f₁(x₁,x₂). Принимает значение истина тогда и только тогда, когда обе переменные истинны. Во всех остальных случаях принимает значение ложь. Обозначается символами: (или знак операции может быть вообще опущен). В общем случае функцию конъюнкция можно определить для n аргументов, т.е. x_1, x_{2, … ,} x_n.

2. Дизъюнкция (логическое сложение, функция ИЛИ) – функция f₇(x_1, x₂). Принимает значение ноль тогда и только тогда, когда оба аргумента равны нулю и принимает значение 1, если хотя бы один аргумент равен 1. Обозначается символом +. В общем случае функцию можно определить для n аргументов.

3. Импликация (следование) х₁ в х₂ функция f₁₃ . Обращается в ноль только в том случае, когда переменная х₁ равна единице, а переменная х₂ равна нулю. Обозначается х₁ х₂.

4. Импликация х₂ в х₁ – функция f₁₁(x₁, x₂). Обращается в ноль тогда и только тогда, когда х₂ равен 1, а х₁ равен 0.

5. Эквиваленция (разнозначность) – функция f₉ (x₁, x₂). Обращается в 1 тогда и только тогда, когда обе переменные одновременно принимают одинаковые значения. Обозначается символами .

6. Исключающее или (сложение по модулю 2), функция f₆ (x₁, x₂). Принимает значение истина в том и только в том случае, когда только один из аргументов равен 1. Обозначается символом .

7. Штрих Шеффера – функция f₁₄ (x₁, x₂). Принимает значение 0 тогда и только тогда, когда оба аргумента одновременно равны 1. Во всех остальных случаях функция равна 1. Обозначается символом /. F₁₄ (x₁, x₂) = x₁ / x_2. Немецкий математик Д. Шеффер на основе этой функции создал алгебру, названную алгеброй Шеффера.

8. Стрелка Пирса (элемент Вебба) – функция f₈ (x₁, x₂). Обозначается символом ↓: f₈ (x₁, x₂) = x₁ ↓ x₂. Математики Ч. Пирс и Д. Вебб независимо друг от друга изучавшие свойства этой функции, создали алгебру, названную алгеброй Пирса (Вебба).

9. Отрицание импликации (коимпликация) х₁ в х₂, функция f₂ (x₁, x₂). Принимает значение 1 тогда и только тогда, когда х₁ равен 1, а х₂ равен 0. Обозначается , или х₁ х₂. Данную функцию можно рассматривать как функцию запрета со стороны переменной х₂.

10. Отрицание импликации (коимпликация) х₂ в х₁, функция f₄ (x₁, x₂). Принимает значение 1 тогда и только тогда, когда х₂ равен 1, а х₁ равен 0. Во всех остальных случаях значение функции 0. Функцию f₄ (x₁, x₂) можно рассматривать как функцию запрета со стороны переменной х₁.

Оставшиеся шесть логических функций f₀, f₃, f₅, f₁₀, f₁₂, f₁₅ являются либо константами, либо функциями существенным образом зависящие только от одной из переменных х₁ или х₂.

f₀ (x₁, x₂) ≡ 0;

f₁₅ (x₁, x₂) ≡ 1;

f₃ (x₁, x₂) = x₁;

f₅ (x₁, x₂) = x₂;

f₁₂ (x₁, x₂) = ₁;

f₁₀ (x₁, x₂) = ₂.

Все перечисленные логические функции являются элементарными. Приведем некоторые определения:

Определение 1. Две функции равносильны друг другу, если на всех возможных наборах переменных принимают одни и те же значения.

Определение 2. Функция [f( x₁, x₂, … , x_n )]^*, равная ( ₁, ₂, … , _n) называется двойственной функцией к функции f(x₁, x₂, … , x_n).