4.4 Перевод чисел из р-ичной системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы перевести р-ичное число в десятичную систему счисления, запишем его в развернутой форме, а затем, выполнив необходимые вычисления, получим соответствующее десятичное число.

Пример 1.

Перевести из восьмеричной системы счисления в десятичную следующие числа:

-13.4₈; 27.51₈; 14.2₈; 127.03₈

Запишем развернутую форму записи числа в восьмеричной системе счисления, основание системы счисления10₈, выразим цифрой десятичной системы счисления 10₈=8₁₀

Выполним перевод для первого числа:

-13.4₈= -(13₈+0.4₈)

-13.4₈= -11.5₁₀.

Остальные примеры решите самостоятельно.

Пример 2.

Перевести следующие числа: 1110011.01₂, -456.07₈, 1АС.15₁₆.

1110011.01=12⁶+12⁵+12⁴+02³+02²+12¹+12⁰+

02^-1=64+32+16+2+1+0.25=115.25; остальные примеры выполните самостоятельно.

4.5 Системы счисления с основаниями, являющимися степенью 2.

При решении примеров по переводу чисел из одной системы счисления в другую (при этом обе системы имеют в качестве основания степени числа 2) может понадобиться таблица переводов.

Таблица переводов.

Система счисления с основанием 10	Система счисления с основанием 2	Система счисления с основанием 8	Система счисления с основанием 16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Двоично-восьмеричная система счисления.

Запишем некоторое число в двоичной системе счисления:

1001101.1011₂

Для того, чтобы представить исходное число в восьмеричной системе счисления разобьем его на триады. Целую часть от десятичной точки влево, добавляя впереди стоящие нули, если не хватает цифр, и дробную часть вправо от десятичной точки, добавляя сзади стоящие нули, если не хватает разряда.

001 001 101.101 100 = 115.54₈

Каждая двоичная триада заменяется восьмеричным числом.

Двоично-шестнадцатеричная система счисления.

Запишем некоторое число в двоичной системе счисления:

1001101.1011₂

Для того, чтобы представить исходное число в шестнадцатеричной системе счисления разобьем его на тетрады. Целую часть от десятичной точки влево, добавляя впереди стоящие нули, если не хватает цифр, и дробную часть вправо от десятичной точки, добавляя сзади стоящие нули, если не хватает разряда.

0100 1101.1011 = 4D.B

Каждая двоичная тетрада заменяется соответствующим шестнадцатеричным числом.

Обратный перевод из восьмеричной или шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления.

При выполнении перевода следует помнить о том, что для восьмеричной системы счисления каждая цифра заменяется двоичной триадой, а для шестнадцатеричной системы счисления каждая цифра заменяется двоичной тетрадой.

Пример 1.

Перевести восьмеричное число 4501 в двоичную систему счисления.

4501₈=100 101 000 001₂.

Пример 2.

Перевести шестнадцатеричное число 4А9С05 в двоичную систему счисления.

4А9С05₁₆=100 1010 1001 1100 0000 0101₂.

Задачи.

1. Перевести обыкновенную дробь , представленную в десятичной системе счисления , в восьмеричную систему счисления.

Решение.

Применим правило перевода дробных чисел из одной системы счисления в другую.

8= =3 целая часть результата является первым разрядом искомой дроби, дробная часть результата равна , следовательно мы вышли на период. Первый найденный разряд выражен в алфавите восьмеричной системы счисления.

Ответ: =0.(3)₈.

2. Перевести обыкновенную дробь представленную в десятичной системе счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение.

16= =2

16= =14 .

Процесс умножения прекращается, так как найден период результирующей дроби. Теперь необходимо полученные целые числа выразить в алфавите шестнадцатеричной системы счисления. Первый разряд искомой дроби выражен в алфавите шестнадцатеричной системы счисления, выразим второй разряд искомой дроби в алфавите шестнадцатеричной системы счисления: 14₁₀=Е₁₆.

Ответ: ₁₀=0.2(Е)₁₆.

3. Периодическую дробь 0.(23), представленную в десятичной системе счисления, перевести троичную систему счисления.

Решение.

Заменим периодическую дробь0.(23)₁₀ обыкновенной дробью.

Для этого проделаем следующие действия:

1) Обозначим исходную дробь через х, тогда

х = 0.(23) (а)

2) Умножим левую и правую части уравнения (а) на 10² (показатель степени равен количеству нулей в периоде), получаем

100х = 23.(23) (б)

3) Вычтем из уравнения (б) уравнение (а), получаем

100х-х = 23 (в)

4) Найдем из уравнения (в) х:

х = .

Применяя правило перевода дробей, переведем полученную обыкновенную дробь в троичную систему счисления.

3= =0

3= =2