4.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

1. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую.

Целое число в системе счисления q может быть представлено эквивалентным числом в системе счисления р по формуле (1.3)

А_q=А_р=(…((b_m-1p+b_m-2p)q+b_m-3)p+…+b₁)p+b_0. (4.5)

Задача перевода числа из одной системы счисления(q) в другую систему счисления (р) заключается в отыскании значений цифр b_k числа в новой системе счисления.

Разделив обе части равенства (4.5) на основание новой системы р, выраженное цифрами системы счисления q, получим:

(4.6)

или А_q=A_p=(A_q)₁+b₀, где (А_q)₁ – целое частное, b₀ – остаток, являющийся первой младшей цифрой числа в новой системе счисления, остаток выражен цифрами исходной системы счисления.

При следующем делении частного на основание системы счисления р будут получены новое частное и новый остаток: (А_q)₁=(A_q)₂+b₁, где b_{1 –} вторая младшая цифра числа. Продолжая деление целых целых частных до нулевого значения частного, находим все цифры числа в новой системе счисления.

Правило перевода целого числа из одной системы счисления в другую.

1. последовательно делить данное число и получаемые целые частные на основание новой системы счисления , выраженные цифрами исходной системы, до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, выразить цифрами алфавита этой системы счисления.

3. Записать число в новой системе, начиная с последнего остатка.

2) Перевод дробных чисел.

Рассуждая по аналогии с переводом для целых чисел, но используя операцию умножения, сформулируем правило перевода дробных чисел.

Правило перевода дробных чисел из одной системы счисления в другую.

1. последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы , выраженное цифрами исходной системы, до тех пор, пока либо дробная часть произведения не станет равной нулю, либо не появится период, либо не будет достигнуто заданное количество разрядов искомой дроби.

2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, выразить цифрами алфавита этой системы.

3. Записать дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

4.3 Перевод из 10-ной системы счисления в р-ную.

1.) Используем изложенный способ перевода числа из одной системы счисления в другую при р=10 и q=2.

Пусть десятичное число равно 13. Чтобы перевести его в двоичную систему счисления необходимо проделать следующие арифметические операции:

13		2
12		6		2
1		0		3		2
				1		1

Число 13 делим на 2, полученный остаток будет младшим разрядом искомого двоичного числа.

Каждое очередное частное делится на 2 до тех пор, пока частное от деления не станет не станет равным 0.

Последнее частное является старшим разрядом двоичного числа. Запишем полученное последнее частное и все остатки по порядку справа—налево — 1101, это и есть число 13 в двоичной системе счисления, 13₁₀=1101₂.

Сущность вычислений заключается в многократном делении целых чисел на 2.

Рассмотрим перевод дробного десятичного числа в двоичную форму. Для этого мы должны проделать арифметическую операцию умножения до первого полученного нуля в дробной части, либо до определенного количества значащих цифр.

Поясним на примерах.

1. переведем число 0,5 (десятичное) в двоичную систему счисления. Для наглядности будем приводить умножение «столбиком».

0	5
	2
1	0

2. 0,75₁₀ переводим в двоичную систему счисления.

0	75 2
1	50 2
1	0

Выписываем разряды «сверху—вниз».

3. 0,33₁₀ переводим в двоичную систему.

0	33 2
0	66 2
1	32 2
1	64 2
1	28 2
1	56 2
1	12 2
0	24 2
0	48 2
0	96 2
1	92 ...

4. Перевести 10,25₁₀ в двоичную систему счисления.

0,	25 2
0	50 2
1	0

10		2
0		5		2
0		1		2		2
				0		1

10,25₁₀=1010,01₂.

2.) Выполнить перевод числа из одной системы счисления в другую можно подбором соответствующих показателей основания системы счисления и коэффициентов при этих степенях, т. е. записать развернутую форму числа, но уже в другой системе счисления. Наиболее легко этот способ реализуется для двоичной системы счисления, так как коэффициенты при степенях могут принимать значения либо 0, либо 1. Например, переведем число 123 в двоичную систему счисления подбором показателей степеней и коэффициентов при них. Составим таблицу степеней числа 2 и посмотрим, какие из этих степеней могут в сумме составить число 123.

Таблица степеней числа 2.

20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	210
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

123=64+32+16+8+2+1=12⁶+12⁵+12⁴+12³+02²+12¹+12⁰=1111011².

Рассмотрим перевод целых и дробных чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

В восьмеричной системе счисления для представления числа используются цифры от 0 до 7. Правила перевода естественно остаются прежними.

Пример

21,25₁₀ переведем в восьмеричную систему счисления.

21₁₀=25₈

0,25₁₀=0,2₈

21,25₁₀=25,2₈

21		8
16		2
5

0	25 8
2	00

При переводе из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную , необходимо помнить о том, что количество символов алфавита шестнадцатеричной системы счисления превышает количество символов алфавита десятичной системы счисления и двузначные числа 11,12,13,14,15 десятичной системы счисления являются однозначными в системе счисления по основанию 16.

В шестнадцатеричной системе счисления для записи любого числа необходимо 16 цифр, для изображения недостающих цифр используются заглавные буквы латинского алфавита.

Алфавит шестнадцатеричной системы счисления:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
										10	11	12	13	14	15

Пример.

Перевести десятичное число 142,25 в шестнадцатеричную систему счисления.

142₁₀=8E₈

0,25₁₀=0,4₁₆

142,25₁₀=8E,4₁₆

142		16
128		8
14 (E)

0,	25 16
4	00