- •Свойства монотонных функций. Def.2 f:er называется .
- •Равномерная непрерывность.
- •Приращение функции.
- •Дифференцируемые функции.
- •Касатальная к графику функции. Геометрический смысл производной.
- •Дифференцирование арифметических операций.
- •Дифференцирование сложных функций.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование параметрически заданных функций.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Инвариантность формы 1-го порядка.
Дифференцирование параметрически заданных функций.
Пусть заданы 2 функции x = x(t) и y = y(t) – дифференцируемые в точке t 0 .Пусть x = x(t) в некоторой окресности имеет непрерывную обратную функцию t = t(x), тогда y = y (t(x)), т.е. получаем сложную функцию аргумента.
y’x = (y(t(x)))’ = y’t *t’x (x)
y’+x| x=xo =y’t| t=to *t’x (x)=y’t| t=to(1/x’t(t)|t=to)
y’x|(x 0) = y’t(t0)/x’t(t0) , t0 = t(x0), x0 = x(t0)
Пример: x = t2 + t t > 0 y’ = cost/(2t + 1) (x=t2 + t) y = sint
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть f: ER x E f’(x): ER, тогда f’(x)- является некоторой функцией f’(x):ER, эта новая функция может быть также дифференцируема в точке х:
f’’(x) = f(2)(x) := (f’(x))’
f’’’(x) = f(3)(x) := (f’’(x))’
-----------------------------
f(n)(x) := (f(n-1) (x))’
f(0)(x) f(x)
Dn (E) или D(n)(E)– множество функций f(x): f(n) (x), x E
f(n)(x) Dn (E)
Сn(E) = {f(x): f:ER, f(n)(x), x E, f(n)(x) C(E)}
Сn(E) Dn (E)
Дифференциалом 2-го порядка от функции f(x) называется дифференциал от дифференциала 2-го порядка f(x).
d(df(x)) =: d2f
d2f = d(df(x)) = d(f’(x)*h) = h * d(f’(x)) = h * f’’(x)*h = f’’(x)* h2
d2f = f’’(x)(dx) 2 = f’’(x) dx2
dnf = d(dn-1f) dnf = f(n)(x)*hn = f(n) (x)*dxn
f(n)(x) = dnf/dxn
Инвариантность формы 1-го порядка.
Th. u = u(x) -дифференцируема в точке х, а функция y = f(u) - дифференцируема в точке u = u(x). Тогда дифференциал от сложной функции d(f(u(x)))
d(f(u)) = f’(u)du (1)
df(u) = d(f(u(x))) = (f(u(x)))’xdx = f’u(u)*u’x(x)dx = f’u (u)du
Эта теорема показывает, что форма не меняется от замены независимой переменной на дифференцируемую функцию от х.
Дифференциалы высших порядков уже не обладают свойством инвариантности (доказать самим).
Th. (теорема Ферма)
Пусть f: ER, точка х0– точка внутреннего локального экстремума, если f(x) – дифференцируема в точке х0, то f’(х0) = 0.
f = f(х0 + h) – f(х0) = f’(х0)*h + ō(h) = [f’(х0) + ō(1)] * h (1)
от противного: т.е. правая часть равенсва (1) при h достаточно близких к 0 сохраняет знак производной при изменении знака h (при условии, что х0+h E)
правая часть (1) меняет знак, что невозможно, поскольку, если точка х0– точка максимума функции, то левая часть (1) не положительна в окресности U(х0, Е), а если минимума, то левая часть (1) – неотрицательна в той же окресности левая часть менять знак не может, а правая при изменении h меняет знак противоречие.
Для точки внутреннего экстремумаh может быть больше и меньше 0.
f(x)
касательная, параллельная оси абсцисс
х0 х
Th. (теорема Ролля)
Пусть f: ER, которая обладает 3-мя свойствами
f C[a, b]
f D1(a, b)
f(a) = f(b)
Тогда с (a, b): f’(c) = 0
В силу 1) по теореме Вейерштрасса x1, x2 [a. b], в которых f(x) принимает соответственно минимальное и максимальное значения.
Тогда могут быть 2 случая:
f(x1) = f(x2) f(x) = const f’(x) = 0; c = x (a, d)
f(x1) < f(x2) и т.к. f(a) = f(b),то отсюда , что хотя бы одна из точек x1 или x2 будет расположена внутри [a, b], т.е. на интервале от a до b, именно эту точку мы и возьмем в качестве точки с.
В точке с все условия теоремы Ферма выполнены поэтому f’(c) = 0
f(x)
a c’ c” b х
Th. (теорема Лагранжа о конечных приращениях)
Пусть f: ER :
f C[a, b]
f D1(a, b), тогда с (a, b) : f(b)-f(a) = f’(c)*(b-a)
Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – (f(b)-f(a))/(b - a)*(x - a)
F(x) отличается от f(x) на линейную функцию F(x) C[a, b], F(x) D1(a, b)
F(a) = f(a); F(b) = f(b) – f(b) + f(a) = f(a) F(a) = F(b)
Все условия теоремы Ролля выполнены с (a, b); f’(c) = 0;
0 = F’(c) = f’(c) – (f(b)- f(a))/(b - a) f(b) – f(a) = f’(c)*(b - a)
Найдется точка в которой касательная параллельная хорде.