Приращение функции.

Def.1 f : E R и х-предельная точка для Е. Пусть h  R : x + h  R, тогда разность

f(x +h) – f(x) =: f называется приращением функции f = f(x, h)

f(x) x: RR f =: x =x+h-x = h x =x (h)

Th.1 (Критерий непрерывности функции в точке)

f : ER непрерывна в точка х  Е  lim _{h0, x + h  E} f = 0

 0 = lim _{h0, x + h  E} f  lim _{h0, x + h  E} (f(x + h) – f(x)) = 0 

lim _{h0, x + h  E} f(x + h) = f(x)  функция непрерывна в точке х  Е

f – непрерывна в точке х  Е  f = ō(1) (h0, x  E)

Дифференцируемые функции.

Def.1 Пусть задана f: ER и х  Е, х- предельная точка для Е .f – называется дифференцируемой в точка х  Е, если ее f можно представить в виде f := f(x +h) – f(x) = A(x)*h +  (x, h) (1), где А (х) – функция от х не зависит от h,  (x) = ō(h)

(h0, x + h E)

lim _{h0, x + h  E} (x, h)/h =0

Если A(x)  0, то первое слагаемое в правой части (1) является главным слагаемым по отношению ко второму, т.к. второе слагаемое мало по отношению к первому.

Def.2 Пусть f: ER и x  E, х – предельная точка для Е. Дифференциалом функции называется величина А(х)*h при условии, что f – дифференцируемая функция в точке х

Символ : d’f = A(x)*h (2) (функция от h линейна)

Рассмотрим конкретную функцию f (x)  x

f =: x = x + h – x = h

x = 1 * h + (x, h), где (x, h) = 0

Значит эта функция дифференцируема в любой точке х и dx = h

Дифференциал функции f(x) = x называют дифференциалом аргумента и обозначают

Символом dx и dx = h, подставляя вместо h dx получаем df = A(x)*dx (3)

Def.3 Пусть f : ER, x  E, x – предельная точка для Е, если 

lim _{h0, x + h  E} (f(x + h) – f(x))/h = lim _{h0, x + h  E} f/h , то он называетя производной

функции f в точке х и обозначается f’(x) f’(x) = lim _{h0, x + h  E} (f(x + h) – f(x))/h

Th.2 (Критерий дифференцируемости функции в точке)

f: ER – дифференцируема в точке х  Е, х – предельная точка для Е   f’(x), причем A(x) = f’(x)

1) Пусть f – дифференцируема в точке х  Е  f = A(x)*h +  (x, h) где (x, h) = ō (h)

f = A(x)*h + ō (h) (h0, x + h E)

h  0 f/h = A(x) + ō(h)/h = A(x) + ō(1) (h0, x + h E)

f’(x) = lim _{h0, x + h  E} (f/h) = lim _{h0, x + h  E} (A(x) + ō(1)) = A(x)   f’(x) = A(x)

2)  f’(x) = lim _{h0, x + h  E} (f/h)  f/h =f’(x) + (x, h)

(x, y) = ō (1) (h0, x + h E)

f = f’(x)*h + h*(x, h) A(x) = f’(x) h*(x, h) =  (x, h)

Эта теорема показывает, что дифференцируемость функции в точке совпадает с понятием производной функции.

Если функция дифференцируема в точке х  Е, то f = ō(1) (h0, x + h E)

 функция непрерывна в точке х  Е. из дифференцируемости всегда следует непрерывность, но наоборот неверно.

Касатальная к графику функции. Геометрический смысл производной.

Постановка задачи: f: ER, x₀  E, x – предельная точка для Е

Будем искать линейную функцию вида: y(x) = a₀ + a₁ (x - x₀) (5)

f(x) = y(x) + ō(x-x₀) (xx₀, x  E) (4)

f – дифференцируема в точке x₀,  f – непрерывна в точке x₀  f(x₀) = lim_{xxo, xE} f(x)

f(x) = a₀ + a₁ (x - x₀) + ō(x-x₀) (xx₀, x  E)

f(x₀) = lim _{x xo, x  E} (a₀ + a₁ (x - x₀) + ō(x-x₀)) (xx₀, x  E) f(x₀) = f(a₀)

f(x) - f(x₀) = a₁ (x - x₀) + ō(x - x₀) (xx₀, x  E)

(f(x) - f(x₀))/(x - x₀) = a₁ + ō(1) (xx₀, x  E) x - x₀= h x = x₀ + h

(f(x₀ + h)-f(x₀))/h = a₁ + ō(1) (xx₀, x + h  E)

f’(x₀) = lim _{x xo, x + h  E}(f(x₀ + h)-f(x₀))/h = a₁

Это единственная линейная функция удовлетворяющая (4). Функция (5) есть разность

f(x) – y(x) = ō(x - x₀) (xx₀) т.е. функция (5) пртближает (аппроксимирует) функцию f(x) и тем лучше, чем меньше х отличается от x₀.

Def.4 Касательной к графику функции, дифференцируемой в точке x₀, f(x) называется прямая,

С уравнением y = f(x₀) + f’(x₀)(x - x₀), проходящая через точку (x₀, f(x₀)).

k = f’(x₀), k = tg,  - угол наклона касательной к положительному направлению Ох.

f’(x₀) = tg

Покажем геометрический смысл дифференциала функции

df = A(x)dx A(x) = f’(x) df = f’(x)dx  f’(x) = df/dy

f: ER – дифференцируема в точке x₀  Е, x₀ – предельная точка для Е.

tg = AB/BM₀  AB = tg*BM₀= f’(x₀)dx = df