Дифференцирование арифметических операций.

Th.1 Пусть f: ER и u: ER – дифференцируемы в точке х  Е, х – предельная точка для Е,

Тогда справедливы утверждения:

1. f(x) + u(x) – дифференцируемa в точке х

(f(x) + u(x))’ = f’(x) + u’(x)

2. f(x)*u(x) – дифференцируемa в точке х

(f(x)*u(x))’ = f’(x)*u(x) + f(x)*u’(x)

3. f(x)/u(x) – дифференцируемa в точке х

(f(x)/u(x))’ = (f’(x)*u(x) - f(x)*u’(x))/u²(x)

 1. F(x) = f(x) + u(x) F = F(x + h) – F(x) = f(x + h) + u(x + h)­­ – (f(x) + u(x)) =

= (f(x + h) – f(x)) + (u(x + h) – u(x)) = f - u = f’(x)*h + ō(h) + u’(x)*h + ō(h)=

=(f’(x) + u’(x))h + ō(h) (h0, x + h  E)  F(x) - дифференцируемa в точке х

F = (f(x) + u(x))’*h + ō(h)

(f(x) + u(x)) = f’(x) + u’(x) 

2. и 3. Доказываются аналогично

Дифференцирование сложных функций.

Th.1 Пусть функция u = u(x) : X U дифференцируема в точке х  Х, а функция y = f(u): UR дифференцируема в точке u = u(x)  U, тогда сложная функция y = f(u(x)): XR

дифференцируема в точке x и при этом сраведливо равенство:

[f(u(x))]’ = f’_u(u)*u’_x(x)

u = u(x + h) – u(x) = u’(x)*h + ō(h) (x, x + h  X) (1)

x – фиксировано u =u(h)

f = f(u + h₁) – f(u) = f’(u)* h₁+ (u, h₁) (2)

где (u, h₁) = ō(h₁) = h ₁*ō(1) = h ₁* (u, h₁)

lim _{h1  0} ( u, h₁) = 0

Функция ( u, h₁) при u – fixe, как функция от h₁ определена в некоторой проколотой окрестности точки h₁ = 0, а в самой точке h₁ = 0 она может быть и не определена. Доорпеделим функцию ( u, h₁) в нуле положив ( u, 0) = 0, тогда эта функция становится непрерывной в точке ноль, т.к. lim _{h1  0} ( u, h₁) = 0 = ( u, 0)

В равенстве (2) число h является независимой переменной, и поэтому мы можем положить h₁ = u(h). Тем самым h₁ есть функция от h. Пусть h0 (h  0, x + h  Х).

Тогда из (1) следует , что u0 (h0)

Поскольку мы доопределили функцию ( u, h₁) и тем самым сделали ее непрерывной в точке h₁ = 0 , то мы можем в (2) вместо h₁ подставить u, несмотря на то, что u может обращаться в 0 при некоторых h₁ отличных от 0.

Поэтому вместо (2) мы можем написать:

f = f(u + u) – f(u) = f’(u)* u + u*( u, h₁) = (f’(u) + ( u, h₁)) u (u , u + u  U, u0)

А теперь вместо u подставим равенство (1):

f =(f’(u) + ō(1))(u’(x)*h + ō(h)) = f’(u)*u’(x)*h + ō(h) (x, x + h  X) (3)

Равенство (3) означает, что сложная функция и ее дифференциал

df(u(x)) = f’_u(u)*u’_x(x)*h

df(u(x)) = [f(u(x))]’_x*h

[f(u(x))]’_x = f’_u(u)*u’_x(x) 

Пример:

y = u³ y (x) = (sinx)³

u = sinx y’(x) = 3*(sinx) ² *cosx

Дифференцирование обратной функции.

Th. Пусть задана функция f: XY (X, Y R), которая в некоторой окресности точки х₀  Х имеет обратную функцию f^-1: Y  X. Пусть f дифференфцируема в точке х₀ и f(х₀)0 и пусть f^-1 непрерывна в точке y₀ = f(х₀)  Y.Тогда f^-1 дифференцируема в точке y₀ = f(х₀) и ее производная в этой точке вычисляется по формуле: (f^-1(y₀))’_у = 1/f’_x(x₀)

 Рассмотрим разности f(x) - f(x₀) и f^-1(y) - f^-1(y₀). Если х х₀, то обе разности отличны от 0 lim _{Yэ yyo} (f^-1(y) – f^-1(y₀))/(f(x) – f(x₀)) = lim _{Yэ yyo} (f^-1(y) – f^-1(y₀))/(y - y₀) = *

Введем замену: y - y₀ = h y = f(x) y₀ = f(x₀) f^-1(y) = x f^-1(y₀) = x₀

*= lim _{ho, yo + h  Y} (f^-1(y + h) – f^-1(y))/h = (f^-1(y₀))’_y

(f^-1(y₀))’_y = lim _{X э xxo} (x – x₀)/(f(x) – f(x₀) = lim _{X э xxo} 1/( (f(x) – f(x₀)/(x – x₀)) =

= 1/lim _h0 ((f(x₀ + h) – f(x₀))/h) = 1/f’_x(x₀)

Производная f^-1(y₀)  т.к. функция дифференцируема

Таблица производных.

Пусть u = u(x) – дифференцируемая функция в точке х, тогда справедливы формулы,

которые называются таблицей производных:

2. 1) (c) = 0 c = const

2. 2) (u^)’ = * u^{ - 1} *u’   R

3. 3) (a^u)’ = a^u lna * u’ a > 0, a1

4. 4) (e^u)’ = e^u * u’

5. 5) (log_au)’ = 1/(u * lna)*u’

6. 6) (lnu)’ = 1/u*u’

7. 7) (sinu)’ = cosu * u’

8. 8) (cosu)’ = -sinu* u’

9. 9) (tgu)’ = 1/cos²u* u’

10. 10) (ctgu)’ = -1/(sin²u)* u’

11. 11) (arcsinu)’ = 1/(1 - u²) * u’

12. 12) (arccosu)’ = -1/(1 - u²) * u’

13. 13) (arctgu)’ = 1/(1 + u²) * u’

14. 14) (arcctgu) = -1/(1 + u²) * u’

15. 6) f(x) = lnx

16. f(x) = lim _h0 (ln(x + h) - lnx)/h = lim _h0(ln(1 + h/x))/h = 2-ой замеч. предел = 1/х

17. (lnu)’_x = 1/u*u’

18. 2) y = u^

19. lny = * lnu 1/y*y’_x =  * 1/u * u’  y’_x = *y*u’/u = * u^*u’/u = * u^*u’/u =

20. =* u^{ - 1} *u’

7) y = sin

2. y’ = lim _h0 (sin(x + h) – sinx)/h = lim _h0 2*sin(h/2)*cos(x + h/2)/h = 1-ой замеч. предел

3. = cosx

4. 11) x = siny :[-/2, /2]  [-1, 1]

5. y = arcsinx : [-1, 1]  [-/2, /2]

6. (arcsinx)’_y =1/(siny)’_y = 1/cosy = 1/ (1 - sin²y) = 1/(1 - x²)

7. (arcsinu)’ _x = 1/(1 - u²) * u’_x