11) Вещественное Евклидово пр-во.И св-ва

Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования.  I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).  П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:  1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);  2°. (x₁ + x2, у) = (х₁ ,у) + (х₂, у) (распределительное свойство);  3°. (λх, у) = λ(х, у) для любого вещественного λ;  4°. (х, х) > 0, если х — ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х — нулевой элемент. 

1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство 

(x, y)² ≤ (x, x)(y, y),называемое неравенством Коши-Буняковского. 

2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если норму любого элемента х в нем определить равенством 

12)Преобразование базиса. переход к новому базису

Пусть в пространстве   имеется два базиса:   и  .

Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 5.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:

(5.1)

Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица   называется матрицей перехода от базиса   к базису  .

Определитель матрицы   не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно и векторы  , были бы линейно зависимы.

Обратно, если  , то столбцы матрицы линейно независимы, и следовательно векторы  , получающиеся из базисных векторов   с помощью матрицы  , линейно независимы и значит образуют некоторый базис. Таким образом, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядкаn с отличным от нуля определителем.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть   в старом базисе и   - в новом. Подставляя в последнее равенство вместо   их выражение из (5.1), получим, что

        Таким образом, старые координаты вектора   получатся из новых его координат с помощью той же матрицы  , только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы.

13) Скалярное пр-ние в Rn и его св.

Скалярным произведением двух векторов   и   в комплексном пространстве   называется число

где   есть комплексное число, сопряженное к числу   (по определению, если  , где   и   действительные, то  ).

Скалярное произведение в комплексном пространстве обладает свойствами:

а')  ; при этом равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда ,

б')  ,

в')  .

В самом деле,

,

и равенство может быть, лишь если  . Далее,

.

Здесь мы воспользовались свойствами операции сопряжения   и  . Наконец,

В комплексном пространстве   длина вектора   определяется при помощи равенства

(3) а расстояние между точками   и 

(4)Легко видеть, что при действительных  ,   выражения (3) и (4) являются частными случаями выражений (3'), (4').

Пространство   (действительное или комплексное), в котором введено понятие скалярного произведения по формуле (5) (соответственно (5')), называется евклидовым  n-мерным  пространством.