2Структура цифровых бих и ких фильтров.

Разностные уравнения цифровых фильтров в виде:

(1)

где - отсчеты на выходе фильтра, - входные отсчеты, и - коэффициенты числителя и знаменателя передаточной характеристики фильтра соответственно. Также мы говорили о том, что если все коэффициенты кроме равны нулю, то такой фильтр называется КИХ-фильтром, а если хотя бы один коэффициент помимо отличен от нуля, то такой фильтр называется БИХ-фильтр.

Важно обеспечить:

1. Линейность фазовой характеристики фильтра.

2. Физическую реализуемость.

3. Устойчивость

КИХ-фильтры удовлетворяют этим трем условиям автоматически. БИХ фильтры неустойчивы.

Структурная схема КИХ-фильтра

Разностное уравнение КИХ фильтра не содержит рекурсивной части:

(2)

Выражение (2) получается из выражения (1) при и .

Структурная схема нерекурсивного КИХ-фильтра показана на рисунке 2.

Рисунок 2: Структурная схема нерекурсивного КИХ-фильтра

КИХ фильтр порядка содержит линий задержки и коэффициент. Если коэффициент , то получим КИХ фильтр порядка у которого умножение на будет тривиальным. Импульсная характеристика КИХ-фильтра всегда конечна и полностью совпадает с коэффициентами фильтра.

Структурные схемы БИХ-фильтра. Прямая и каноническая формы БИХ-фильтра

При построении БИХ-фильтра перепишем уравнение (1) к виду:

(3)

В выражении (3) можно выделить нерекурсивную составляющую и рекурсивную . Тогда БИХ-фильтр можно представить как сумму нерекурсивной и рекурсивной составляющих, как это показано на рисунке 3.

Рисунок 3: Прямая форма БИХ-фильтра

Такое представление БИХ-фильтра называют прямой формой реализации. Обратим внимание, что количество линий задержек БИХ-фильтра равно , что больше чем количество линий задержек КИХ-фильтра того же порядка (напомним, что порядок БИХ-фильтра равен максимальной степени полинома числителя или знаменателя передаточной характеристики фильтра). При этом также обратим внимание, что БИХ фильтр представляет собой каскадное соединение нерекурсивной и рекурсивной частей, которые можно поменять местами. Тогда получим структуру, показанную на рисунке 4.

Рисунок 4: Перестановка нерекурсивной и рекурсивной составляющих БИХ-фильтра

Объединив линии задержки в структуре, показанной на рисунке 4, получим каноническую форму БИХ-фильтра, представленную на рисунке 5.

Рисунок 5: Каноническая форма БИХ-фильтра

В канонической форме БИХ-фильтра количество линий задержек всегда равно порядку фильтра.

Билет 9.

1Аппроксимация сигналов с ограниченным спектром рядом Котельникова. Теорема Котельникова.

Постановка задачи:

Пусть задан сигнал x(t):

Теорема Котельникова: Любой сигнал x(t) состоящий из частот от о до fв можно представить с любой точностью при помощи чисел следующих друг за другом через секунд.

Сигнал с непрерывным ограниченным спектром полностью определяется дискретными значениями, взятыми через интервал .

Доказательство сводится к разложению сигнала в ряд специального вида (в Ряд Котельникова):

Представим сигнал x(t) интегралом Фурье:

(1)

Представим рядом Фурье:

(2)

(3)

Подставим выражение (2) в выражение (1):

(4)

Формулу (1) запишем в виде:

(5)

Сравним выражения (5) и (3), принимая во внимание, что .

Поделим выражение (3) на (5):

Тогда выражение (4) примет вид:

1)

2) Поменяем знак индекса:

- представление сигнала рядом Котельникова.

Обозначим

- функция отсчетов.

Сигнал x(t) представленный по заданной системе базисных функций полностью определяются совокупностью коэффициентов выступают отсчеты сигнала, следующих через секунд, т.е. сигнал полностью определяется этими отсчетами. Этим теорема доказана.

Свойства функции отсчетов:

1. Система ортогональна на интервале .

2. 

Все реальные сигналы имеют бесконечный спектр.

Замечания по теореме Котельникова:

1. Теорема дает строгое обоснование возможности восстановления сигнала по дискретным отсчетам.

2. Для восстановления сигнала необходим идеальный фильтр.

3. Сигнал должен иметь непрерывный спектр, при дискретном спектре справедливость теоремы нарушается.