2 Прямой синтез цифровых бих-фильтров
Билет 14.
1 Преобразование Фурье последовательности конечной длительности. Свойства дпф
Для частного случая, когда представляемая числовая последовательность имеет конечную длительность (конечное число ненулевых значений), можно разработать другой вид преобразования Фурье – ДПФ. ДПФ – это последовательность, которая соответствует равноудалённым по частоте отсчётам обычного преобразования Фурье.
Для правильной интерпретации ДПФ конструируется периодическая последовательность, каждый период которой совпадает с последовательностью конечной длины. Тогда дискретный ряд Фурье этой периодической последовательности соответствует ДПФ последовательности этой конечно длины.
ПФ.
Пример:
-
конечная последовательность.
-
ДПФ, k=0,1…N-1.
-ОПФ,
n=0,1…N-1.
Свойства ДПФ:
ДПФ – линейное преобразование. Сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ.
Пусть
,
тогда
Пусть
,
тогда
дополняется
до длительности
нулями и расчет ДПФ ведется по следующим
формулам:
Число различных коэффициентов ДПФ, т.е.
,
равно числу
членов числовой последовательности
Всегда важно помнить, что когда речь идет о ДПФ, последовательность x(n) конечной длины, представляются как один период периодической последовательности.
Коэффициент
(постоянная
составляющая) является суммой всех
отсчетов входной последовательности.Если N четное число, то
Пусть x(n) – вещественно, тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N/2, образуют сопряженные пары:
Поэтому можно
считать, что коэффициенты
отвечают отрицательным частотам, они
не дают новых сведений
2 Понятие стационарности и эргодичности случайных процессов.
Случайные процессы можно классифицировать следующим образом
1.Стационарные.
2.Нестационарные.
Стационарные процессы – стационарны в узком смысле (СУС) и стационарны в широком смысле (СШС).
СУС – процессы, все N-мерные моменты функции которых, а также функция распределения и плотность распределения, не зависит от момента времени, а зависит от их взаимного расположения на оси.
Предъявленные требования очень жесткие, таких процессов мало, класс узок.
СШС – процессы, отвечающие следующим условиям:
1.
2.
3.
Корреляционная функция одной переменной:
Нестационарные процессы:
Стационарные процессы бывают эргодические и неэргодические.
-усреднение по ансамблю (поперек).
Если о стационарном процессе можно судить на основании одной реализации достаточной длительности, то он эргодический. Статистическая характеристика такого процесса, найденного по множеству реализаций и по одной реализации с бесконечной длительностью совпадает с вероятностью, стремящейся к 1.
- усреднение по 1 реализации (вдоль).
Если характеристики полученные усреднением поперек и вдоль совпадает, то такой процесс называется эргодическим.
Билет 15.
1 Ряд Фурье.
Постановка задачи: Пусть x(t) любой периодический сигнал: x(t)=x(t+T);
Первая гармоника сигнала: ω1=2π/Т;
Необходимо разложить сигнал по системе базисных функций:
{φk(t)}={сos k ω1t, sin k ω1t}; (*)
Используя критерий сходимости в среднеквадратическом. Всякий, с несущественными для практики математическими ограничениями (условиями Дирихле), периодический сигнал x(t) с периодом Т=2π/ ω1, может быть представлен рядом по тригонометрическим функциям:
(1) – синусно-косинусная форма ряда Фурье
Если коэффициенты ряда (1) найдены по формулам (2), то ряд (1) называется рядом Фурье.
Вещественная форма представления ряда Фурье:
(3)
{ak,bk}↔{ck,ψk};
Комплексная форма ряда Фурье:
, где - комплексная амплитуда.
Зная формула Эйлера:
Тогда выражение (3) примет вид:
Для общности обозначим:
{ck} – спектр амплитуды сигнала x(t);
{ψk}- спектр фаз сигнала x(t);
{ }- комплексный спектр сигнала x(t);
{ }- система базисных функций в виде комплексных экспонент;
{ak,bk}↔{ck…,ψk};