|
|
График 1.3.6.1.
Предел функции y = x2 при
x → 2.
|
График 1.3.6.2.
Предел функции
при
x → 0.
|
Если
A – предел функции в точке a, то пишут,
что
Определения
предела функции по Коши и по Гейне
эквивалентны.
|
График 1.3.6.3.
Предел функции y = {x (x ≠ 0); 1 (x = 0)}
при x → 0 равен 0.
|
Предел
функции
в
точке a = 0 равен 0:
Предел
функции
в
точке a = 0 также равен 0, хотя эта
функция не существует в этой точке (ее
знаменатель обращается в нуль). Предел
функции
в
точке a = 0 равен 0, хотя значение
функции в этой точке f (0) = 1.
Если
функция f (x) имеет предел в точке a,
то этот предел единственный.
Число A1 называется пределом
функции f (x) слева в точке a, если для
каждого ε > 0 существует δ > 0
такое, что для всех
выполняется
неравенство
Число A2 называется пределом
функции f (x) справа в точке a, если для
каждого ε > 0 существует δ > 0
такое, что для всех
выполняется
неравенство
Предел слева обозначается
предел
справа –
Эти
пределы характеризуют поведение функции
слева и справа от точки a. Их часто
называют односторонними пределами. В
обозначении односторонних пределов
при x → 0 обычно опускают первый
нуль:
и
.
Так, для функции
Если
для каждого ε > 0 существует такая
δ-окрестность точки a, что для всех x,
удовлетворяющих условию |x – a| < δ,
x ≠ a, выполняется неравенство
|f (x)| > ε, то говорят, что функция
f (x) имеет в точке a бесконечный предел:
Так,
функция
имеет
в точке x = 0 бесконечный предел
Часто
различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,
Если
для каждого ε > 0 существует такое
δ > 0, что для любого x > δ
выполняется неравенство |f (x) – A| < ε,
то говорят, что предел функции f (x)
при x, стремящемся к плюс бесконечности,
равен A:
Аналогично
формулируется определение предела при
x, стремящемся к минус бесконечности:
В
качестве примера приведем функцию
которая
стремится на бесконечности к нулю:
Наконец,
запись
означает,
что для любого ε > 0 существует
такое δ > 0, что для любого x > δ
выполняется неравенство f (x) > ε.
Запись
означает,
что для любого ε > 0 существует
такое δ > 0, что для любого x > δ
выполняется неравенство f (x) < –ε.
Запись
означает,
что для любого ε > 0 существует
такое δ > 0, что для любого x < –δ
выполняется неравенство f (x) < –ε.
Если
функция f (x) имеет конечный предел в
точке a, то существует окрестность точки
a, в которой функция f ограничена (
возможно, что в самой точке a функция
не определена). При этом, если A ≠ 0,
то найдется окрестность точки a, в
которой (быть может, за исключением
самой точки a) значения функции f имеют
тот же знак, что и число A.
Если
существует такое δ > 0, что для
всех x, принадлежащих δ-окрестности
точки a, выполняются неравенства
и
если
,
|
то
существует
Если
существует такое δ > 0, что для
всех x, принадлежащих δ-окрестности
точки a, справедливо неравенство
и
если
то A ≤ B.
Если
функции f (x) и g (x) имеют конечные
пределы в точке a, причем
то
№2
3.3. Бесконечно малые и бесконечно
большие
|
Определение. Функция
называется
бесконечно малой при
,
если
.
Определение.
Функция
называется
бесконечно большой при
,
если
.
Лемма. Если
при
,
то
при
,
если
при
,
то
при
и
.
Например, функции
и
взаимнообратны.
При
функция
является
бесконечно малой, а
–
бесконечно большой, если
.
Сформулируем основные
теоремы о бесконечно малых.
Теорема.
Алгебраическая сумма конечного числа
бесконечно малых при
функций
является бесконечно малой при
функцией.
Теорема.
Произведение конечного числа бесконечно
малых при
функций
является бесконечно малой при
функцией.
Теорема.
Произведение бесконечно малой при
функции
на функцию, ограниченную в некоторой
окрестности точки
,
является бесконечно малой при
функцией.
Определение.
Две бесконечно малые при
функции
и
называются эквивалентными при
,
если
,
т.е.
при
.
Определение.
Две бесконечно малые при
функции
и
называются
бесконечно малыми одинакового порядка,
если
,
где
и
конечно.
Например, функции
и
при
являются
бесконечно малыми одинакового порядка,
так как
.
Определение.
Бесконечно малая при
функция
называется
функцией более высокого порядка по
сравнению с функцией
при
,
если
.
В этом случае пишут
.
Так, функция
является
бесконечно малой более высокого
порядка по сравнению с
при
,
так как
.
|
№3
Основные теоремы о пределах
Теорема
1.
(о
предельном переходе в равенстве) Если
две функции принимают одинаковые
значения в окрестности некоторой точки,
то их пределы в этой точке совпадают.
Þ
.
Теорема
2.
(о
предельном переходе в неравенстве)
Если значения
функции f(x)
в окрестности некоторой точки не
превосходят соответствующих значений
функции g(x)
, то предел функции f(x)
в этой точке
не превосходит предела функции g(x).
Þ
.
Теорема 3.
Предел
постоянной равен самой постоянной.
.
Доказательство.
f(x)=с,
докажем, что
.
Возьмем произвольное
e>0.
В качестве d
можно взять любое
положительное
число. Тогда при
.
Теорема 4.
Функция
не может иметь двух различных пределов
в
одной
точке.
Доказательство.
Предположим
противное. Пусть
и
.
По теореме
о связи предела и бесконечно малой
функции:
f(x)-A=
- б.м. при
,
f(x)-B=
- б.м. при
.
Вычитая эти
равенства, получим:
B-A=
-
.
Переходя к пределам
в обеих частях равенства при
,
имеем:
B-A=0,
т.е. B=A.
Получаем противоречие, доказывающее
теорему.
Теорема 5.
Если
каждое слагаемое алгебраической суммы
функций имеет предел при
,
то и алгебраическая сумма имеет предел
при
,
причем предел алгебраической суммы
равен алгебраической сумме пределов.
.
Доказательство.
Пусть
,
,
.
Тогда, по теореме
о связи предела и б.м.
функции:
где
- б.м. при
.
Сложим алгебраически
эти равенства:
f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=
,
где
б.м.
при
.
По теореме о связи
предела и б.м.
функции:
А+В-С=
.
Теорема
6.
Если
каждый из сомножителей произведения
конечного числа функций имеет предел
при
,
то и произведение имеет предел при
,
причем предел произведения равен
произведению пределов.
.
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить
за знак предела.
.
Теорема 7.
Если
функции f(x)
и g(x)
имеют предел при
,
причем
,
то и их частное имеет предел при
,
причем предел частного равен частному
пределов.
,
.
№4
Из
существования пределов f (x) в точке
a и g (y) в точке f (a) следует
существование предела сложной функции
g (f (x)) в точке a.
Для вычисления пределов часто используют
так называемые замечательные пределы:
Для доказательства первого предела
используется неравенство
,
|
верное для
(неравенство
sin x < x следует из определения
синуса при рассмотрении единичной
окружности, а для доказательства
неравенства x < tg x необходимо
нарисовать ось тангенсов). Для
доказательства второго предела
используется монотонная и ограниченная
последовательность
№5
Сравнение функций а) Сравнение бесконечно малых функций
Для определения
бесконечно малых и бесконечно больших
функций воспользуемся, так называемым
сравнением функций. Пусть у нас есть
две функции p(x) и q(x), которые стремятся
к А при аргументе x стремящемся к А. И
будем рассматривать предел их отношения
при аргументе x, стремящемся к некоторому
числу A. Тогда возможны следующие
варианты:
1)
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен нулю, в этом случае говорят,
что p(x) бесконечно малая функция
более высокого порядка и принято
обозначать p(x) = o(q(x)).
2)
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен С - некоторой константе, в
этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно
малые функции одного порядка и принято
обозначать p(x) = O(q(x)).
3) Если данный предел:
не
существует, в этом случае мы ничего не
можем сказать о сравниваемых функциях
и поэтому говорят, что функции не
сравнимы.
4)
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен бесконечности, в этом случае
говорят, что g(x) бесконечно малая
функция более высокого порядка и
принято обозначать q(x) = o(p(x)).
Устали от учебы? База
затока приезжай в любое время
года и наслаждайся незаюываемым по
красоте морем.
B) Сравнение бесконечно больших функций
Также как и в
предыдущем пункте будем рассматривать
предел отношения двух функций. Только
теперь у нас функции стремятся к
бесконечности при аргументе x, стремящемся
к А. Возможны следующие варианты:
1)
,
т.е. предел отношения функций существует
и равен бесконечности. В этом случае
говорят, что p(x) бесконечно большая
функция более высокого порядка.
2)
,
т.е. предел отношения функций существует
и равен С - некоторой константе. В этом
случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно
большие функции одного порядка.
3)
,
т.е. предел отношения функций существует
и равен нулю. В этом случае говорят, что
q(x) бесконечно большая функция более
высокого порядка.
4) Если данный предел:
не
существует, в этом случае мы ничего не
можем сказать о сравниваемых функциях
и поэтому говорят, что функции не
сравнимы.
№6
Непрерывность функций
Функция
f (x), определенная в точке a, называется
непрерывной в этой точке, если
По
аналогии с понятием одностороннего
предела вводятся понятия функции,
непрерывной в точке a слева и справа.
Функция непрерывна в данной точке тогда
и только тогда, когда она непрерывна
как справа, так и слева в этой точке.
Пусть
функция определена в некоторой
окрестности точки a, быть может, за
исключением самой точки a. Точка a
называется точкой разрыва, если эта
функция либо не определена в точке a,
либо определена, но не является
непрерывной в точке a.
Чаще
всего разрыв возникает по двум причинам:
функция задана различными выражениями
на разных участках, и в граничных точках
эти выражения имеют различные пределы;
2.функция не определена в данной точке
Подчеркнем
еще раз, что если функция непрерывна в
точке x0, то она определена в этой
точке.
Если
функция непрерывна в каждой точке
некоторого промежутка, то она называется
непрерывной на этом промежутке.
Большинство функций, изучаемых в
элементарной математике, непрерывны
на всей области определения. Если
функции f (x) и g (x) непрерывны в
точке x0, то их сумма и произведение
также непрерывны в этой точке, а функция
непрерывна
в ней при условии, что g (x0) ≠ 0.
Отсюда
следует, что рациональные функции
непрерывны во всех тех точках, в которых
их знаменатель не обращается в нуль.
Из
непрерывности функции y = f (x) в
точке x0 и функции z = g (y)
в точке y = f (x0) следует
непрерывность сложной функции g (f (x))
в точке x0.
Функцию
f (x) называют непрерывной на отрезке
[a; b], если она непрерывна в каждой
точке интервала (a; b) и, кроме того,
непрерывна справа в точке a и слева в
точке b.
Теорема
Вейерштрасса. Если функция f (x)
непрерывна на отрезке [a; b], то она
ограничена на этом отрезке и достигает
своего наибольшего и наименьшего
значения. Теорема Коши. Если функция
f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и
принимает на его концах значения разных
знаков, то на отрезке [a; b] имеется
хотя бы один нуль функции f. При этом,
если функция строго монотонна на этом
отрезке, то она принимает значение 0
лишь один раз.
Теорема
о промежуточных значениях. Если функция
f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и
f (a) ≠ f (b), то для каждого
значения y, заключенного между f (a) и
f (b), найдется точка
(и
возможно, не одна) такая, что f (x) = y.
19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных
функций
Теоремы о непрерывности функций
следуют непосредственно из соответствующих
теорем о пределах.
Теорема 19.1 . Сумма,
произведение и частное двух непрерывных
функций есть функция непрерывная (для
частного за исключением тех значений
аргумента, в которых делитель равен
нулю).
Теорема 19.2 . Пусть функции
u=φ(х) непрерывна в точке х0, а
функция у=ƒ(u) непрерывна в точке u0=φ(хо).
Тогда сложная функция ƒ(φ(х)), состоящая
из непрерывных, функций, непрерывна в
точке х0.
Теорема 19.3 . Если функция
у=ƒ(х) непрерывна и строго монотонна на
[a;b] оси (Oх, то обратная функция у=φ(х)
также непрерывна и монотонна на
соответствующем отрезке [c;d] оси Оу (без
доказательства).
Можно доказать, что все
основные элементарные функции непрерывны
при всех значениях х, для которых они
определены.
Из приведенных выше теорем
вытекает: всякая элементарная функция
непрерывна в каждой точке, в которой
она определена.
№7
Ели функция f (x) не является
непрерывной в точке x = a, то говорят,
что f (x) имеет разрыв
в этой точке
Все точки разрыва функции разделяются
на точки разрыва первого
и второго рода.
Говорят,
что функция f (x) имеет точку
разрыва первого рода при x = a,
если в это точке
При этом возможно следующие два случая:
Такая
точка называется точкой
устранимого разрыва.
Такая
точка называется точкой
конечного разрыва. Модуль разности
значений односторонних пределов
называется
скачком функции.
Функция f (x) имеет точку
разрыва второго рода при x = a,
если по крайней мере один из односторонних
пределов не существует или равен
бесконечности.
№8
Производная функции одной переменной
1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной
функции
в точке
называется
предел отношения приращения функции
в этой точке к приращению аргумента
,
при
(если
этот предел существует и конечен), т.е.
.
Обозначают:
.
Производной функции
в
точке
справа
(слева) называется
(если этот предел существует
и конечен).
Обозначают:
– производная y=f(x) в точке
справа,
– производная y=f(x) в точке
слева.
Очевидно, что справедлива
следующая теорема.
Теорема 1:
Функция y=f(x) имеет производную в
точке
тогда
и только тогда, когда в этой точке
существуют и равны между собой производные
функции справа и слева. Причем
.
Следующая теорема устанавливает
связь между существованием производной
функции в точке
и
непрерывностью функции в этой точке.
ТЕОРЕМА (необходимое условие
существования производной функции в
точке). Если функция y = f(x) имеет
производную в точке
,
то функция f(x) в этой точке непрерывна.
Замечание. Непрерывность
функции в точке
не является достаточным условием
существования производной этой функции
в точке
.
Например, функция y = |x| непрерывна,
но не имеет производной в точке
.
2. Физический и геометрический смысл производной
1) Физический смысл производной.
Если функция y =
f(x) и ее аргумент x являются физическими
величинами, то производная
– скорость изменения переменной y
относительно переменной x в точке
.
Например, если S = S(t) – расстояние,
проходимое точкой за время t, то ее
производная
– скорость в момент времени
.
Если q = q(t) – количество электричества,
протекающее через поперечное сечение
проводника в момент времени t,
то
– скорость изменения количества
электричества в момент времени
,
т.е. сила тока в момент времени
.
2) Геометрический смысл производной.
Пусть
–
некоторая кривая,
– точка на кривой
.
Любая прямая, пересекающая
не
менее чем в двух точках называется
секущей.
Касательной к кривой
в
точке
называется
предельное положение секущей
,
если точка
стремится
к
,
двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что
если касательная к кривой в точке
существует,
то она единственная
№9
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
Теорема
(необходимое
условие дифференцируемости функции).
Если функция
дифференцируема
в точке,
то она непрерывна
в этой точке.
Следовательно,
у=f(x)
непрерывна
в точке х0.
Следствие.
Если х0
– точка
разрыва функции,
то в ней функция не дифференцируема.
Утверждение, обратное теореме, не верно.
Из непрерывности не следует
дифференцируемость
№10
Производная обратной функции
Дифференцируемая монотонная функция
f: ]a, b[ → R с необращающейся
в нуль производной имеет обратную
дифференцируемую функцию f -1,
производная которой вычисляется по
формуле
Производная параметрически заданной
функции
Если функция f задана параметрически
x = φ(t), y
= ψ(t), α < t < β,
где
y = f(x) и функции φ и ψ
дифференцируемы, причем φ'(t) ≠
0, то
Производная неявно заданной функции
Если y = f(x) - дифференцируемая
функция, заданная уравнением F(x,
y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0
на некотором интервале ]a, b[, то
во многих случаях ее производную можно
найти из уравнения
№11
Понятие дифференциала
Пусть функция y = f(x)
дифференцируема при некотором значении
переменной x . Следовательно, в
точке x существует конечная
производная
Тогда по определению предела
функции разность
(1)
является бесконечно малой
величиной при
.
Выразив из равенства (1) приращение
функции, получим
(2)
(величина
не
зависит от
,
т. е. остаётся постоянной при
).
Если
,
то в правой части равенства (2) первое
слагаемое
линейно
относительно
.
Поэтому при
оно является бесконечно малой
того же порядка малости, что и
.
Второе слагаемое
-
бесконечно малая более высокого порядка
малости, чем первое, так как их отношение
стремится
к нулю при
Поэтому говорят, что первое
слагаемое формулы (2) является главной,
линейной относительно
частью
приращения функции; чем меньше
,
тем большую долю приращения составляет
эта часть. Поэтому при малых значениях
(и
при
)
приращение функции можно приближенно
заменить его главной частью
,
т.е.
(3)
Эту главную часть приращения
функции называют дифференциалом данной
функции в точке x и обозначают
или
Следовательно,
(4)
или
(5)
Итак, дифференциал
функции y = f(x) равен произведению
её производной на приращение независимой
переменной.
Замечание. Нужно помнить, что
если x – исходное значение аргумента,
- наращенное значение, то
производная в выражении дифференциала
берётся в исходной точке x ; в
формуле (5) это видно из записи, в формуле
(4) – нет.
Дифференциал функции можно
записать в другой форме:
(6)
или
Геометрический смысл
дифференциала. Дифференциал
функции y = f(x) равен приращению
ординаты касательной, проведённой к
графику этой функции в точке (x;
y), при изменении xна величину
.
Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала
В этом и следующем параграфах
каждую из функций будем считать
дифференцируемой при всех рассматриваемых
значениях её аргументов.
Дифференциал
обладает свойствами, аналогичными
свойствам производной:
(С
– постоянная величина) (8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Формулы (8) – (12) получаются из
соответствующих формул для производной
умножением обеих частей каждого
равенства на
.
Рассмотрим дифференциал
сложной функции. Пусть
-
сложная функция
:
Дифференциал
этой функции, используя формулу
для производной сложной функции, можно
записать в виде
Но
есть
дифференциал функции
,
поэтому
,
т.е.
(13)
Здесь дифференциал записан в
том же виде, как и в формуле (7), хотя
аргумент
является
не независимой переменной, а функцией
.
Следовательно, выражение дифференциала
функции в виде произведения производной
этой функции на дифференциал её аргумента
справедливо независимо от того, является
ли аргумент независимой переменной
или функцией другой переменной. Это
свойство называют инвариантностью
(неизменностью) формы дифференциала.
Подчеркнём, что в формуле (13)
нельзя заменить
на
,
так как
для любой функции
,
кроме линейной.
№12
Уравнение касательной и
нормали к графику функции в точке
Уравнение
касательной
Пусть функция задается
уравнением y=f(x), нужно написать уравнение
касательной в точке x0. Из
определения производной:
y/(x)=limΔx→0ΔxΔy
Δy=f(x+Δx)−f(x).
Уравнение касательной к
графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из
геометрического смысла производной:
f/(x0)=tgα=k
Т.к.
x0 и f(x0)∈
прямой, то уравнение касательной
записывается в виде:
y−f(x0)=f/(x0)(x−x0) ,
или
y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0.
Уравнение нормали
Нормаль -- это
перпендикуляр к касательной (см.
рисунок). Исходя из этого:
tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f/(x0)
Т.к. угол наклона нормали
-- это угол β1, то имеем:
tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f/(x).
Точка (x0,f(x0))∈
нормали, уравнение примет вид:
y−f(x0)=−1f/(x0)(x−x0).
№13
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
Теорема Ролля
Пусть функция f: [a, b] → R
непрерывна на сегменте [a, b], и
имеет конечную или бесконечную
производную внутри этого сегмента.
Пусть, кроме того, f(a) = f(b).
Тогда внутри сегмента [a, b]
найдется точка ξ такая, что f'(ξ)
= 0.
Теорема Лагранжа
Если функция f: [a, b] → R
непрерывна на сегменте [a, b] и
имеет конечную или бесконечную
производную во внутренних точках этого
сегмента, то
такое,
что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b
- a).
Теорема Коши
Если каждая из функций f и g
непрерывна на [a, b] и имеет
конечную или бесконечную производную
на ]a, b[ и если, кроме того,
производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[,
то
такое,
что справедлива формула
Если дополнительно потребовать, чтобы
g(a) ≠ g(b), то условие g'(x)
≠ 0 можно заменить менее жестким:
№14
Теорема Лопиталя
(раскрытие
неопределенностей типа
).
Пусть функции
,
дифференцируемы в окрестности точке
x0,
за исключением самой точки x0,
причем
,
и пусть
,
.
Если существует
то существует и
,
причем
=
.
Замечание 3.
Предел отношения двух функций может
существовать, в то время как предел
отношения их производных не существует.
Например,
=1,
а
=
– не существует, так как
не существует.
Замечание 4.
Если
при x →
x0
(
)
является неопределенностью типа
или
,
и
,
g'(x)
удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя,
то
=
=
.
Таким образом, для
раскрытия неопределенностей типа
или
иногда приходится применять правило
Лопиталя несколько раз.
Замечание 5. Теорема Лопиталя
остается верной и тогда, когда
=
.
№15
Определение возрастающей функции.
Функция
y = f(x) возрастает на интервале X,
если для любых
и
выполняется
неравенство
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее
значение функции.
Определение
убывающей функции.
Функция y
= f(x) убывает на интервале X, если
для любых
и
выполняется
неравенство
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее
значение функции.
Теорема 22.2. Для того чтобы
дифференцируемая на интервале
(a;b) функция 
не убывала (не возрастала) на этом
интервале, необходимо и достаточно,
чтобы производная этой функции была
неотрицательной (неположительной)
всюду на этом интервале.
Доказательство. 1) Докажем
достаточность. Пусть 
. Рассмотрим
любые две точки x1 и x2 интервала
(a;b), удовлетворяющие условию
.
Повторяя рассуждения из доказательства
предыдущей теоремы, получим:
,
где 
.
Так как по условию 
, то 
, или 
, т.е.
функция
не
убывает (не возрастает) на интервале
(a;b).
2) Докажем необходимость. Пусть
функция
дифференцируема
и не убывает (не возрастает) на интервале
(a;b). Так как эта функция не убывает (не
возрастает) на интервале (a;b), то она не
может убывать (возрастать) ни в одной
точке интервала (a;b). Поэтому, как следует
из теоремы 16.1, производная 
ни
в одной точке интервала (a;b) не может
быть отрицательной (положительной).
Теорема доказана.
№16
Определение экстремума
Функция y = f(x) называется
возрастающей (убывающей) в
некотором интервале, если при x1<
x2 выполняется неравенство (f(x1)
< f (x2) (f(x1) > f(x2)).
Если дифференцируемая функция
y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает),
то ее производная на этом отрезке f '(x)
0
(f ' (x)
0).
Точка xо
называется точкой локального
максимума (минимума) функции
f(x), если существует окрестность точки
xо, для всех точек которой
верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥
f(xо)).
Точки максимума и минимума
называются точками экстремума, а
значения функции в этих точках - ее
экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума.
Если точка xо является
точкой экстремума функции f(x), то либо
f '(xо) = 0, либо f (xо) не
существует. Такие точки называют
критическими, причем сама функция
в критической точке определена.
Экстремумы функции следует искать
среди ее критических точек.
Первое достаточное условие.
Пусть xо - критическая
точка. Если f ' (x) при переходе
через точку xо меняет знак
плюс на минус, то в точке xо
функция имеет максимум, в противном
случае - минимум. Если при переходе
через критическую точку производная
не меняет знак, то в точке xо
экстремума нет.
Второе достаточное условие.
Пусть функция f(x) имеет производную
f
' (x) в окрестности точки xо
и вторую производную
в
самой точке xо. Если f '
(xо) = 0,
>0
(
<0),
то точка xо является
точкой локального минимума (максимума)
функции f(x). Если же
=0,
то нужно либо пользоваться первым
достаточным условием, либо привлекать
высшие производные.
На отрезке [a,b] функция y = f(x)
может достигать наименьшего или
наибольшего значения либо в критических
точках, либо на концах отрезка [a,b].
№17
Функция f
( x
) называется выпуклой
на интервале ( a,
b
), если её график на этом интервале лежит
ниже
касательной, проведенной к кривой
y = f (
x
) в любой точке ( x0
, f
( x0
) ), x0
(
a,
b
).
Функция f
( x
) называется вогнутой
на интервале ( a,
b
), если её график на этом интервале лежит
выше
касательной, проведенной к кривой
y = f (
x
) в любой точке ( x0
, f
( x0
) ), x0
(
a,
b
).
Достаточное
условие вогнутости ( выпуклости )
функции.
Пусть функция f
( x
) дважды дифференцируема ( имеет вторую
производную ) на интервале ( a,
b
), тогда:
если f
'' ( x
) > 0 для любого x
(
a,
b
), то функция f
( x
) является вогнутой
на интервале ( a,
b
);
если f
'' ( x
) < 0 для любого x
(
a,
b
), то функция f
( x
) является выпуклой
на интервале ( a,
b
) .
Точка, при переходе через которую
функция меняет выпуклость на вогнутость
или наоборот, называется точкой
перегиба. Отсюда следует, что
если в точке перегиба x0
существует вторая производная
f '' ( x0 ), то f '' ( x0
) = 0.
№18
Непрерывная
на отрезке [a; b]
функция f (x)
называется выпуклой
вверх на этом отрезке, если для любых
точек x1
и x2
из этого отрезка
|
|
Другими словами, если
для любых точек x1
и x2
отрезка [a; b]
секущая AB
проходит под графиком функции f (x),
то функция f
выпукла вверх.
Аналогично
определяется функция, выпуклая вниз.
Дважды
дифференцируемая на [a; b]
функция f (x)
выпукла вверх, если для любого
Дважды
дифференцируемая на [a; b]
функция f (x)
выпукла вниз, если для любого
Так, вторая
производная функции
равна
откуда
следует, что квадратичная функция
выпукла вниз на всей области
определения.
Пусть функция
f (x)
непрерывна в точке
и
имеет в этой точке конечную или
бесконечную производную. Тогда точка
называется
точкой
перегиба
функции f,
если в этой точке изменяется направление
ее выпуклости.
Необходимое
условие наличия точки перегиба.
Если
–
точка перегиба функции f (x),
и функция f (x)
имеет вторую производную, непрерывную
в этой точке, то
Достаточные
условия наличия точки перегиба.
Пусть функция
f (x)
непрерывна и имеет конечную или
бесконечную производную в точке
Если
меняет
знак при переходе через точку
то
–
точка перегиба функции f (x).
Если
то
–
точка перегиба функции f (x).
№19
Определение 1. Асимптотой
графика функции называется прямая,
к которой неограниченно приближается
график функции при
или
.
Различают
вертикальные и наклонные асимптоты
(в частности, горизонтальные).
Прямая
х = а
называется
вертикальной
асимптотой,
если хотя
бы один
из односторонних пределов
f
(а + 0),
f
(а –
0) равен
бесконечности или не существует,
то есть в точке х = а
функция терпит разрыв второго рода.
Определение 2. Прямая
у = k х + b
называется наклонной асимптотой
графика функции f(х)
при
,
если эту функцию можно представить
в виде:
f
(х) = kх + b + a (х),
где
.
То
есть разность a (х)
между ординатами точек кривой и
асимптоты при
(
)
есть величина бесконечно малая.
№20
Определение:
Функция F(x)
называется первообразной для функции
f(x)
на интервале (a,b),
если на этом интервале существует
производная
F'(x)
и F'(x)=f(x).
Теорема:
Если F1(x)
и F2(x)
-
первообразные
для одной и той же функции f(x),
то их разность есть
величина
постоянная.
Докозательство:
По условию F'1(x)=F'2(x)=f(x)
обозначим:
Ф(x)= F1(x)
- F2(x).
Очевидно, Ф'(x)
равняется
нулю во всем промежутке (a,b), где
определены первообразные F
1(x)
и F2(x).
Для любых х1,
x2
,Î
(a,b) по формуле Лагранжа Ф(х1)-Ф(х2
)=Ф'(c)(b-a).
но Ф'(c)=0,
т.к. сÎ (a,b), следовательно Ф(х
1)=Ф(х2).
Это означает, что Ф(х) сохраняет
постоянное
значение
на промежутке (a,b), т.е. F1(x)
- F2(x)
=С.
Следствие:
Если для функции f(x) первообразной
на интервале (a,b) является
функция
F(x), то ее любая другая первообразная
для f(x) имеет вид F(x)+C, где
С
- произвольная постоянная.
№21
Определение:
Неопределенным интегралом от функции
f(x) называется совокупность
всех
первообразных этой функции. Он
изображается так: ∫
f(x)dx,
где
∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное
выражение,f(x) -
подынтегральная
функция.
Из
определения вытекает, что
И
следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx.
С другой стороны,
∫F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C.
Если
F(x) - какая-нибудь первообразная для
f(x), то учитывая приведенное выше
следствие,
можно написать: ∫ f(x)
dx = F(x)+C,
где С-
произвольная
постоянная. Путем дифференцирования
обеих частей равенства легко
доказать
справедливость следующих свойств:
1.
∫ Аf(x)dx =
A ∫ f(x)dx
(постоянный множитель можно
выносить
за знак интеграла).
2.
∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
(интеграл от суммы
функций
равен сумме интегралов от этих
функций).
Если
функция f
( x
) имеет первообразную на промежутке
X,
и k
– число, то
Короче:
постоянную
можно выносить за знак интеграла.
Если
функции f
( x
) и g
( x
) имеют первообразные на промежутке
X
, то
Короче:
интеграл
суммы равен сумме интегралов.
Если
функция f
( x
) имеет первообразную на промежутке
X , то для
внутренних точек этого промежутка:
Короче: производная
от интеграла равна подынтегральной
функции.
Если функция
f (
x
) непрерывна на промежутке X
и дифференцируема во внутренних
точках этого промежутка, то:
№22
Замена
переменной
Для
интегрирования многих функций
применяют метод замены переменной,
или подстановки,
позволяющий
приводить интегралы к табличной
форме.
Если
функция f(z)
непрерывна на
[a, ],
функция
z =g (x)
имеет на [a,b]
непрерывную производную и α ≤ g(x)
≤ β, то
∫ f(g(x))
g'
(x)
dx
= ∫f(z)
dz,
(8.3)
причем
после интегрирования в правой части
следует сделать подстановку z=g(x).
Для
доказательства достаточно записать
исходный интеграл в виде:
∫ f(g(x))
g (x) dx
= ∫ f(g(x)) dg(x).
Например:
1)
;
2)
.
Метод
интегрирования по частям
Пусть
u
= f(x)
и v
= g(x)
- функции, имеющие непрерывные
производные. Тогда, по правилу
дифференцирования
произведения,
d(uv)=
udv
+ vdu
или udv
= d(uv)
-vdu.
Для
выражения d(uv)
первообразной, очевидно, будет uv,
поэтому имеет место формула:
∫ udv
= uv
- ∫ vdu.
(8.4)
Эта
формула выражает правило
интегрирования
по частям.
Оно приводит интегрирование выражения
udv=uv'dx
к интегрированию выражения vdu=vu'dx.
Пусть,
например, требуется найти x
cosx
dx.
Положим u
= x,
dv
= cos
x
dx,
так что du=dx,
v=sinx.
Тогда
∫ x
cos
x dx
= ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx
= x sin x + cos
x + C.
Правило
интегрирования по частям имеет более
ограниченную область применения,
чем замена переменной. Но есть целые
классы интегралов, например,
∫ xk
lnmx
dx,
∫xk
sin
bx
dx,
∫ xk
cos
bx
dx,
∫xk
e
ax
dx
и
другие, которые вычисляются именно
с помощью интегрирования по частям.
№23
Интегрирование
рациональных дробей
16.1.1. Понятие рациональной
дроби
О: Под рациональной дробью
понимается функция
В данном случае
-
определенные коэффициенты,
Рациональная
дробь именуется правильной, при
условии, что
,
и неправильной, в случае
.
Любую неправильную рациональную
дробь можно записать в виде суммы
многочлена и привильной дроби.
Допустим, что
-
это неправильная рациональная дробь.
Осуществим деление числителя на
знаменатель, в итоге имеем:
в данном случае
и
остаток
представлены
в виде многочленов, а
-
это правильная рациональная дробь.
Пример:
Итак,
-
остаток.
Первый интеграл найти не
трудно. Для определения второго
интеграла, следует подынтегральную
функцию записать в виде сумы простейших
рациональных дробей, далее надо их
проинтегрировать. С этой целью
разберем простейшие рациональные
дроби.
16.1.2. Простейшие рациональные
дроби и их интегрирование
1 тип.
-
заданные числа
2 тип.
-
заданные числа
3 тип.
-
заданные числа
.
Квадратный трехчлен
не
содержит действительных корней.
Интегрирование осуществляется
посредством выделения полного
квадрата в знаменателе:
и
дальнейшей заменой
,
иначе выражаясь
Первый инеграл посредством
осуществления замены
приводится
к табличному (ОК № 15, формула 2),
второй — табличный (формула 15).
Пример:
4 тип.
-
заданные числа
не
содержит действительных корней.
16.1.3. Разложение правильной
рациональной дроби на простейшие
Представим, что знаменатель
правильной рациональной дроби
не
содержит действительных корней.
Тогда
можно
записать в виде суммы простейших
дробей 1-3 типов:
в данном случае
представлены
в качестве коэффициентов, которые
определяются посредством приведения
суммы справа к общему знаменателю и
дальнейшего приравнивания полученного
числителя к
.
№24
10.9.1. Универсальная
тригонометрическая подстановка.
Переход в подынтегральной функции
к переменной
преобразует
R(sin x, cos x) в
функцию, рационально зависящую от
t; методы интегрирования таких
функций рассмотрены в предыдущем
разделе. Выразим sin x, cos x,
dx через t:
(делим
на
)
;
(делим
на
)
.
В результате все компоненты
подынтегральной функции выражаются
через функции, рационально зависящие
от t. Пример:
.
Универсальная
тригонометрическая подстановка
всегда рационализирует подынтегральную
функцию, с её помощью легко берутся
интегралы вида
(a,
b, c - постоянные); однако
часто она приводит к очень громоздким
рациональным дробям, у которых, в
частности, практически невозможно
найти корни знаменателя. Поэтому при
возможности применяются частные
подстановки, которые тоже рационализируют
подынтегральную функцию и приводят
к менее сложным дробям
№26
Интегрирование
некоторых иррациональных функций
Не
от всякой иррациональной функции
интеграл выражается через элементарные
функции. Рассмотрим те функции,
интегралы от которых с помощью
подстановок приводятся к интегралам
от рациональных функций и интегрируются
в элементарных функциях.
1)
Если под знаком интеграла стоит
рациональная функция от дробных
степеней независимой переменной
,
т. е. рассматривается
,
то подынтегральная функция преобразуется
в рациональную функцию от
с
помощью подстановки
,
где
-
общий знаменатель дробей
:
,
.
2)
Если под знаком интеграла стоит
рациональная функция от дробных
степеней выражения
,
т. е.
,то
с помощью подстановки
,
где
-
общий знаменатель дробей
,
подынтегральная функция преобразуется
в рациональную дробь. Для нахождения
выполним
преобразования: выразим
,
и
.
3)
Рассмотрим теперь интеграл вида
.
Этот
интеграл сводится к интегралу от
рациональной функции с помощью
подстановки
,
где
-
общий знаменатель дробей
.
Для нахождения
необходимо
предварительно выразить
из
равенства
.
Поясним на примере.
№28
Число J
называется определенным
интегралом
от функции f (x)
на отрезке [a; b],
если для любого ε > 0 существует
такое
что
для разбиения отрезка [a; b]
на равные части n
точками и для любого выбора точек
выполняется
неравенство
Заметим, что в этом
определении предполагается, что
функция может быть как положительной,
так и отрицательной.
Теорема
существования:
Для
любой непрерывной на
функции
существует определенный интеграл.
№29
Геометрический
смысл определенного интеграла.
Последнее
равенство означает, что определенный
интеграл
для
непрерывной и неотрицательной функции
y = f(x)
представляет собой в геометрическом
смысле площадь соответствующей
криволинейной трапеции.
То
есть, вычислив интеграл
,
мы найдем площадь фигуры, ограниченной
линиями y
= f(x), y = 0, x = a
и x =
b.
Замечание.
Если
функция y
= f(x)
неположительная на отрезке [a;
b], то
площадь криволинейной трапеции может
быть найдена как
.
№30
Свойства
определенных интегралов:
1.
2.
3.
4.Свойство
линейности
5.Свойство
аддитивности по области
|
График 3.2.3.1.
Выпуклая вверх
функция.
|
,
если
B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в
δ-окрестности точки a.
и
правосторонний предел
;
