Билет №16. Производная неявно заданной функции.

Билет №17. Производная функции, заданной в параметрическом виде.

В зависимости от правила, устанавливающего зависимость между множествами значений величин x и y, различают несколько способов задания функции. Наиболее привычным является представление функции в явном виде  . Однако, в некоторых случаях удобно описывать функциональную зависимость множеством пар значений (x; y), которые вычисляются для каждого значения параметра t из промежутка (a; b). К примеру, все пары значений   при   задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.

Определение параметрически заданной функции.

Таким образом, если   определены при   и существует обратная функция   для  , то говорят о параметрическом задании функции  .

При исследовании параметрически заданной функции иногда приходится находить ее производную по аргументу x. В этой статье мы выведем формулу производной параметрически заданной функции  , также остановимся на производной второго и n-ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции.

Пусть   определены и дифференцируемы при  , причем  и   имеет обратную функцию  .

Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию  , аргументом которой является x.

По правилу нахождения производной сложной функции имеем:  . Так как   и   обратные функции, то по формуле производной обратной функции  , поэтому  .

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Дальнейшее изложение предполагает умение пользоваться таблицей производных, правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

Пример.

Найти производную параметрически заданной функции 

Решение.

В данном примере  , поэтому  . Используем выведенную формулу и сразу записываем ответ:

Ответ:

.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, что производная функции по аргументу x также задается через параметр t, поэтому в ответе нужно указывать и выражение аргумента x через параметр t(строчка переписывается из условия), иначе потеряется связь между значениями производной параметрически заданной функции и аргументом, которому эти значения соответствуют.

Билет №18. Логарифмическая производная.

Логарифмической производной от функции f(x) называется результат логарифмического дифференцирования, т.е. операции, состоящей в последовательном применении к функции f(x) сначала логарифмирования (по основанию е), а затем дифференцирования.

Билет №19. По математическому анализу Дифференциал функции. Инвариантность формулы первого дифференциала.

Дифференциал функции

Функция   называется дифференцируемой в точке  , предельной для множества E, если ее приращение Δf(x₀), соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде

Δf(x₀) = A(x₀)(x - x₀) + ω(x - x₀),     (1)

где ω(x - x₀) = о(x - x₀) при x → x₀.

Отображение  , называется дифференциалом функции f в точке x₀, а величина A(x₀)h - значением дифференциала в этой точке.

Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df(x₀), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом,

df(x₀) = A(x₀)h.

Разделив в (1) на x - x₀ и устремив x к x₀, получим A(x₀) = f'(x₀). Поэтому   имеем

df(x₀) = f'(x₀)h.     (2)

Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала df(x₀) (при f'(x₀) ≠ 0) есть главная часть приращения функции f в точке x₀, линейная и однородная в то же время относительно приращения h = x - x₀.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x₀) = f'(x₀)dx.     (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t₀)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

Билет №20. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной n-го порядка f⁽ⁿ⁾(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка:

Дифференциалом n-го порядка dⁿy называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка как функции x:

Билет №21. Уравнение касательной и нормали к кривой.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ равно:

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания:

Билет № 22. Теорема Ролля Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0.

Билет № 23.Теорема Лагранжа Согласно теореме Лагранжа, если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует хотя бы одна точка   такая, что