Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российская открытая академия транспорта МИИТ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Otvety_po_matematicheskomu_analizu (1).doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Билет №3. Нахождение предела функции в точке.

Все основывается на определении односторонних пределов. Без вычисления односторонних пределов не обойтись при нахождении вертикальных асимптот графика функции.

Определение (нахождение предела функции слева).

Число В называется пределом функции f(x) слева при , если для любой сходящейся к а последовательности аргументов функции , значения которых остаются меньше а ( ), последовательность значений этой функции сходится к В.

Обозначается .

Определение (нахождение предела функции справа).

Число В называется пределом функции f(x) справа при , если для любой сходящейся к а последовательности аргументов функции , значения которых остаются больше а ( ), последовательность значений этой функции сходится к В.

Обозначается .

Определение (существование предела функции в точке).

Предел функции f(x) в точке а существует, если существуют пределы слева и справа а и они равны между собой.

Замечание.

Предел функции f(x) в точке а бесконечен, если пределы слева и справа а бесконечны.

Пример.

Доказать существование конечного предела функции в точке . Найти его значение.

Решение.

Будем отталкиваться от определения существования предела функции в точке.

Во-первых, покажем существование предела слева. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем . Примером такой последовательности может являться

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид

На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками.

Легко видеть, что эта последовательность сходится к -2, поэтому .

Во-вторых, покажем существование предела справа. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем . Примером такой последовательности может являться

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид

На рисунке соответствующие значения показаны синими точками.

Легко видеть, что эта последовательность также сходится к -2, поэтому .

Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, по определению существует предел функции в точке , причем

Графическая иллюстрация.

Билет №4. Нахождение предела функции на бесконечности.

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А. Обозначается .

Замечание.

Предел функции f(x) при бесконечен, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции является бесконечно большой положительной или бесконечно большой отрицательной. Обозначается .

Билет №5. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

Þ .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

Доказательство. f(x)=с, докажем, что .

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B-A=-.

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

Доказательство. Пусть , , .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

где - б.м. при.

Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С=.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

Билет №6. Первый замечательный предел.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где — площадь сектора )

(из : )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Доказательства

Билет №7. Второй замечательный предел

Справка: – это иррациональное число.

имеет вид:

или в другой записи

В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу сподробным оприсанием решения.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем бесконечность:

Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность, которая указывает на применение второго замечательного предела. Выделим целую часть в основании показательно степенной функции:

Тогда предел запишется в виде:

Сделаем замену переменных. Пусть

Если , то

Исходный предел после замены примет вид:

В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов.

Ответ:

ЗАМЕЧАНИЕ Неопределнность единица в степени бесконечность является степенной неопределенностью, так что может быть раскрыта по правилам нахождения пределов показательно степенных функций.

Билет №8. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций

Функция α (x) называется бесконечно малой при , если

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при .

Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);
Если , то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;
Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой порядка относительно функции β (x);
Если , то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при .

Билет №9. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

Билет №10. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно больших функций.

А) Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

^{Бесконечно
большая величина}

^{Во
всех приведённых ниже формулах
бесконечность справа от равенства
подразумевается определённого знака
(либо «плюс», либо «минус»). То есть,
например, функция}^{,
неограниченная с обеих сторон, не
является бесконечно большой при}^.

^{Последовательность}^{называется}^{бесконечно
большой}^,
если^.

^{Функция
называется}^{бесконечно
большой в окрестности точки}^,
если^.

^{Функция
называется}^{бесконечно
большой на бесконечности}^,
если^либо.

^{б) Сравнение бесконечно больших}

^Пусть^и^{–
бесконечно большие функции при}^x^→^a^{.
Рассмотрим возможные значения предела
отношения этих функций:}

^Если^{,
то функции}^и^{называются
бесконечно большими}^{одного
и того же порядка}^{.

Функции}^и^{называются}^{эквивалентными}^{бесконечно большими при}^x^→^a^{,
если λ = 1. Для записи
эквивалентности функций используется
обозначение вида}

^{Функция}^{называется}^{бесконечно
большой более высокого порядка}^{по сравнению с}^при^x^→^a^{,
если λ = ∞; при этом говорят,
что}^{имеет
меньший порядок роста.

Если}^и^{представляют собой бесконечно большие
функции одного и того же порядка, то
функция}^{называется}^{бесконечно
большой}ⁿ^-го^{порядка}^{по сравнению с}^{.
Например, функция}^{является бесконечно большой 4-го
порядка по сравнению с}^при^x^{→ ∞.

Если λ = 0,
то бесконечно большие функции}^и^{меняются
своими ролями. В этом случае функция}^{является
бесконечно большой более высокого
порядка по сравнению с}^при^x^→^a^.^{Свойства
эквивалентных бесконечно больших
функций}^.

^Если^и^{–
эквивалентные бесконечно большие
функции при}^x^→^a^{,
то их разность имеет меньший порядок
роста.

Действительно,}

^Если^и^{–
бесконечно большие функции одного и
того же порядка при}^x^→^a^,
то^и^{являются эквивалентными бесконечно
большими функциями:}

^{Иначе
говоря, бесконечно большие функции}^и^{асимптотически
пропорциональны при}^x^→^a^.

^{Если
бесконечно малая}^{имеет
меньший порядок роста по сравнению с}^при^x^→^a^,
то

^{В
таких случаях говорят, что}^{–
пренебрежимо малая величина по
сравнению с}^.

^в) Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывается: .

Свойства бесконечно малых функций:

1)Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2)Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

3)Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

4)Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая.

5)Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция - функция бесконечно малая ( ), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.

Доказательство:

Пусть - бесконечно малая функция при , т.е. . Тогда для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая.