Вопрос 62: Существование и стабильность общего равновесия.

Существование конкурентного равновесия важно в том плане, что оно служит "проверкой на состоятельность" для различных моделей экономики. Имеются математические инструменты, которые могут быть использованы для установления факта существования конкурентного равновесия. Решающей оказывается при этом предпосылка о непрерывности функции совокупного избыточного спроса. Грубо говоря, это означает, что малые изменения цен должны приводить лишь к малым изменениям совокупного спроса: малое изменение цен не должно иметь своим результатом большой скачок в количестве спроса.

По существу имеются два рода условий, гарантирующих эту непрерывность. Одно из них состоит в том, что должна быть непрерывной функция спроса каждого индивида — так что малые изменения цен будут приводить лишь к малым изменениям спроса. Оказывается, для этого требуется, чтобы предпочтения каждого потребителя были выпуклыми. Другое условие является более общим. Даже если функции спроса отдельных потребителей прерывны до тех пор, пока все потребители мелки по сравнению с размерами рынка, функция совокупного спроса будет непрерывной.

Это последнее условие выглядит вполне разумным. В конце концов, предпосылка о конкурентном поведении имеет смысл только тогда, когда существует множество потребителей, мелких по отношению к размерам рынка. Это как раз то самое условие, соблюдение которого требуется для того, чтобы функции совокупного спроса были непрерывными. А непрерывность — не что иное, как гарантия существования конкурентного равновесия. Таким образом, те самые предпосылки, которые делают постулируемое поведение разумным, гарантируют наличие у теории равновесия самостоятельного содержания.

Закон Вальраса

Закон Вальраса гласит, что если m-1 рынков находятся в состоянии равновесия, то и оставшийся рынок также находится в равновесии, или

p₁z₁( p₁, p₂) + p₂z₂( p₁, p₂)261  0.

Иначе говоря, стоимость совокупного избыточного спроса тождественно равна нулю. Утверждение "стоимость совокупного спроса тождественно равна нулю" означает, что она равна нулю для всех возможных выборов цен, а не только для равновесных цен.

Доказательство этого следует из суммирования бюджетных ограничений двух индивидов. Рассмотрим вначале индивида A. Поскольку его спрос на каждый товар удовлетворяет его бюджетному ограничению, мы имеем

p₁ (p₁, p₂) + p₂ (p₁, p₂)262  p₁ + p₂

p₁[ (p₁, p₂) — ]+ p₂[ (p₁, p₂) — ]263  0

p₁ (p₁, p₂) + p₂ (p₁, p₂)264  0.

В этом уравнении утверждается, что стоимость чистого спроса индивида A равна нулю. Иными словами, стоимость того количества товара 1, которое хочет купить индивид A, плюс стоимость того количества товара 2, которое он хочет купить, должна равняться нулю. (Конечно, количество одного из товаров, которое он хочет купить, должно быть отрицательным — иначе говоря, он намеревается продать один из товаров, чтобы купить больше другого товара.)

У нас имеется аналогичное уравнение для индивида B:

p₁[ (p₁, p₂) — ]+ p₂[ (p₁, p₂) — ]265  0,

p₁ (p₁, p₂) + p₂ (p₁, p₂)266  0.

Сложив эти уравнения для индивидов A и B и воспользовавшись определением совокупного спроса z1( p1, p2)267 и z2( p1, p2)268, получаем

p₁[ (p₁, p₂) + (p₁, p₂)] + p₂[ (p₁, p₂) + (p₁, p₂)]269  0,

p₁z₁(p₁, p₂)270 + p₂z₂(p₁, p₂)271  0.

Теперь можно увидеть, откуда следует закон Вальраса: поскольку стоимость избыточного спроса каждого индивида равна нулю, стоимость суммы избыточных спросов индивидов должна равняться нулю.

Теперь можно наглядно показать, что при равенстве спроса предложению на одном рынке спрос должен быть равен предложению и на другом рынке. Обратите внимание на то, что закон Вальраса должен соблюдаться для всех цен, так как бюджетное ограничение каждого из индивидов должно удовлетворяться при любых ценах. Поскольку закон Вальраса соблюдается для всех цен, он, в частности, соблюдается для совокупности цен, при которой избыточный спрос на товар 1 равен нулю:

z₁( , ) = 0. 272

Согласно закону Вальраса должно соблюдаться

p₁z₁( , ) + p₂z₂( , ) = 0. 273

Как легко вывести из этих уравнений, если p₂ > 0274, то должно быть

z₂( , ) = 0.

Следовательно, как утверждалось выше, если мы найдем совокупность цен ( , 275), при которой спрос на товар 1 равняется предложению товара 1, нам гарантировано, что спрос на товар 2 должен равняться предложению товара 2. Напротив, если мы найдем совокупность цен, при которой спрос на товар 2 равен предложению товара 2, нам гарантировано, что рынок товара 1 будет находиться в равновесии.

Вообще, если имеются рынки для k товаров, достаточно найти совокупность цен, при которой в равновесии пребывают k — 1 рынков. Из закона Вальраса в этом случае будет следовать, что на рынке товара k спрос автоматически должен быть равен предложению.