18 Приложения производной в экономической теории

Эластичностью функции  в точке  называется следующий предел:

Эластичность  – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями  и . Эластичность функции выражается через производные так:

Понятие эластичности возникло в экономике в связи с анализом функций спроса. По существу, это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

19​ Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.

     Формула Тейлора  +Rn(x)

(R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора).

     Остаточный член формулы Тейлора 

     В форме Лагранжа:

20​ Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.

3 hàm :(f(x)=e^x . f(x)=sin x . f(x)=cos x

1. Рассмотрим функцию  . Все её производные совпадают с ней:  , так что коэффициенты Тейлора в точке   равны

Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:

2. Рассмотрим функцию  . Её производные чередуются в таком порядке:

а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке   также возникает повторение:

и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами   равны 1 при  , то есть при  , и   при  , то есть при  . Таким образом,   при всех   и коэффициенты Тейлора равны

Получаем формулу Тейлора для синуса:

Заметим, что мы можем записать остаточный член   вместо  (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка  , с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.

3. Для функции   производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке   имеют то же чередование:

Нетрудно видеть, что   при  ,   и   при  ,  . Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид

Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее   с нулевым коэффициентом.