11 Необходимые и достаточные условия монотонности
Пусть f(x) определена и дифференцируема на промежутке (a; b)
Необходимые:
Если f(x)
монотонно возрастает на
промежутке (a;
b)
Если f(x)
монотонно убывает на
промежутке (a;
b)
Достаточные:
Если
>
0
на
(а, b), то
возрастает
(убывает) на (а, b)
c/m f(x1) – f (x2) = f’(1/2*(x1 +x2))*(x1 – x2)
12 Необходимые и достаточные условия экстремума
Необходимые: если в точке экстремума функция f(x) имеет производную, то производная равна нулю
достаточные Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда:
1) если f(x) < 0 на (a;x0) и f(x) > 0 на (x0;b), то точка x0 – точка минимума функции f(x);
2) если f(x) > 0 на (a;x0) и f(x) < 0 на (x0;b), то точка x0 – точка максимума функции f(x);
Если в точке x0 выполняются условия:
1) f(x0) = 0; f(x0) < 0, тогда x0 – точка максимума;
2) f(x0) = 0; f(x0) > 0, тогда x0 – точка минимума;
3) f(x0) = 0; f(x0) = 0, тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым.
13 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Если
функция 
определена
и непрерывна в замкнутом промежутке 
,
то она достигает в этом промежутке своих
наибольшего и наименьшего значений.
найти
;найти точки, в которых
или
не
существует, и отобрать из них те, что
лежат внутри отрезка 
;вычислить значения функции
в
точках, полученных в п.2, и на концах
отрезка и выбрать из них наибольшее и
наименьшее; они и будут соответственно
наибольшим и наименьшим значениями
функции
на
отрезке
,
которые можно обозначить так: 
.
14 Выпуклость кривой, точки перегиба (определение; необходимые, достаточные условия).
Выпуклость кривой Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема на интервале ( a, b ), тогда: если f''(x)<0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является выпуклой на интервале (a,b).
точки перегиба Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x0) и (x0;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.
Достаточные условия точки перегиба. Если функция y=f(x) дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку f''(x) меняет знак, то x0 — точка перегиба графика функции y=f(x).
Необходимое условие точки перегиба. Если x = x0 — точка перегиба графика функции y=f(x), то f'(x)=0 или не существует.
15 Асимптоты графика функции. Нахождение наклонных асимптот
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Нахождение наклонных асимптот
. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
или
