§ 22. Преобразования координатных систем

Из аналитической геометрии известно, что ортогональное преобра­зование пространственных координатных систем OXYZ или Oxyz с совмещенными началами в общем случае выражает связь исходных (х, у, z\ преобразованных (X, У, Z) координат точки и углов между соответствующими координатными осями исходной и преобразован­ной систем. Эта связь выражается формулами:

X = ецх + а₂у + OgZ, х = ОуХ + b{Y + c_xZ 1

У = \\х + Ь₂у + b₃z, у = а₂Х + b₂Y + c₂Z L (3.1)

Z = c_xx + c₂y -+ c₃z, z = a_sX + Ь₃У + c₃Z\

аблица 3.1 I У 1 ^z

^а2 ^а3

I с₂ 1 с₃

Оси х

X a_t

У bj

^z I a

где a_if b_if c_t (i = 1, 2, 3) - косинусы углов, составленных координатными осями X, У, Z системы OXYZ с координатными осями х, у, z системы Oxyz (табл. 3.1).

58

Величины a_h Ъ_и c_t называют направляющими косинусами, или компонентами матрицы ортогонального преобразования.

Три параметра, от которых зависят значения направляющих коси­нусов, называют углами Эйлера, которые в фотограмметрии ото­ждествляют с угловыми элементами внешнего ориентирования. Выбор этих углов осуществляется различными способами, и от того, как это сделано, зависит вид функции для определения направляющих коси­нусов. Три подхода к выбору^угловых элементов рассмотрены в § 21.

Девять направляющих косинусов определяются через три незави­симых угла, и должны быть связаны шестью независимыми усло­виями. Таковыми, как известно, являются:

+ а₂ + of = 1,

+ ъ£ + ь| = 1,

О?

с\ + с| + с| = 1,

аД + а₂Ъ₂ + а₃^з = °] а^ + а₂с₂ + а_гс₃ = °\ fojCj + Ъ₂с₂ + Ь₃с₃ = О

Из этих свойств вытекают и другие, зависимые условия:

а\ + Ъ\ + с\	= 1,	сцзъ + ЬуЪ2 + сгс2 = 0
а\ + Ь\ + с\	= 1,	^Од +^&3 + С1С3 .= 0
а\ + Ь\ + с\	= 1,	<hfh + Ьф3 + с2с3 = 0

Кроме того, при ортогональных преобразованиях имеет место:

\а_х а₂ а₃

Ь\ ^b2 ^b3 ^с\ ^с2 ^С3

= 1

Уравнения (3.1) могут быть представлены в матричной форме

|Х1 Y \Z

П

а₂

Ь₂

Сг)		X		XI
с2	X	Y	**ш*Х	г
сз )		Z		Z

(3.2)

или в векторной

R = А хг,

F = A^T хЛ,

где R, 7- векторы с компонентами, представленными в координат ных системах OXYZ и Oxyz соответственно; Д^, Д^_х - прямая v транспонированная матрицы ортогонального преобразования, причем

59

^^ci

^сш>х

Ь\ Ь₂ Ь₃

^L3j

Ащя ~~

(^а\ bi ^ci ^

^а2 Ь₂ С₃ \^а3 ^3 ^c3j

(3.3)

В коодинатной системе Sxyz для всех точек аэроснимка z =-/, поэтому вместо (3.1) будем иметь:

X = а_хх + а₂у - а₃/, У - Ь^х + fc₂i/ - Ь₃Л Z = с,* + с₂у - с₃/,

х = а,Х + &,У + c,Z у = а₂Х + 6₂У + c₂Z ₂ = -f = а_ъХ + &₃^у + ^сз^

(3.4)

Если координаты главной точки аэроснимка не равны нулю;то в фор­мулах (3.1)- (3.4) величины х и у заменяют на (х - х₀) и (у - у₀).