7. Повторение испытаний.Ф-ла Бернулли. Наивер-шее число появлений события

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Пусть проводятся п независимых испытаний, в результате которых может появиться событие А с вероятностью р и не поя­виться с вероятностью q, р + q = 1. Появление события А называ­ется успехом, а непоявление — неуспехом. Такая схема называ­ется последовательностью испытаний Бернулли или схе­мой Бернулли.

Пусть X— число успехов в n испытаниях Бернулли. Тогда ве­роятность события {Х= т) (ровно т успехов в п испытаниях) вы­числяется по формуле Бернулли:

где q-веть того, что соб. А не наступит (q=1-Р(А)=1-р).

Число успехов, кот. при зад. m соот-ет наиб. биномин. вер-ть, наз. наивер-шим числом успехов.

Наивер-шее число успехов чаще 1 число, реже 2, 3 никогда не бывает.

8. Пред. Теоремы для сх. Бернулли(т. Пуассона, лок. И интегр. Т. Муавра-Лапласа)

=np – среднее число появления события А в n независимых испытаниях.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А появится m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

-малая ф-ция Лапласа, знач-я кот. даны в соот-их табл-ах.

Если х принимает отриц. знач., то для нахожд. ф-ции φ(х) исп-ся св-во: φ(-х)=φ(х)-нечётная

9. Понятие случ. Вел-ны.Диск. И непрер. Сл. Вел-ны. Ряд распред., многоуг-ик распред. Дискр. Сл. Вел

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Обозначение.: X, Y, Z x, y, z.

Случайной величиной называется функция Х на пространст­ве событий Ω такая, что для всякого числа х подмножество (X < х) является событием.

Дискретной (прерывной) называют СВ, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений ДСВ может быть конечно или бесконечно. Непрерывной называют СВ, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений НСВ бесконечно.

Для того, чтобы задать СВ, необходимо перечислить все ее возможные значения и указать соответствующие вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины

называют соответствие между возможными значениями и

их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х_i, р_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

10. Ф-ция распред. сл. вел. и её св-ва.

Если множество значений СВ Х не является конечным или счетным, то СВ задают функцией распределения.

Функцией распределения СВ Х называют функцию, обозначаемую F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее Х.

По определению .

Она называется также интегральной функцией.

СВ Х наз-ся непрерывной, если ее функция распределения является непрерывной функцией, кусочно-дифференцируемой с непрерывной производной.

Свойства F(x):

1) Все знач. ф-ции F(x) лежат в числ. отрезке [0;1].

2). F(x) неубывающая функция: 3)Если все возм. знач-я непр. сл. вел. расположены по всей числ. оси, то , а

4) Если все возм. знач-я сл. вел. Х x(a;b), то ф-ция F(x)=0 при x>b и F(x)=1 при x<a.

5)Вер-ть того, что сл. вел. примет знач., заключ. в промеж-ке [a;b) равна приращению ф-ции распред-я F(х) в этом промеж-ке, т.е. Р (а b)=F(b)-F(a)

6) Вер-ть того, что непр. случ. вел. Х примет одно опред. знач. а равно 0, т.е. Р(Х=а)=0