3. Классическое определение вероятности. Статистическое и аксиоматическое определение вероятности.

Классической схемой, или схемой случаев, называется ис­пытание, при котором число элементарных исходов конечно и все из них равновозможны.

Элементарное событие (исход) со называется благоприятст­вующим событию А, если его появление влечет наступление со­бытия А (т.е. со входит в число элементов, составляющих А).

Классической вероятностью события А называется отно­шение числа т элементарных событий, благоприятствующих со­бытию А, к числу п всех элементарных событий из этой схемы:

P=m/n

где m — число элементарных исходов, благоприятствующих А; n — число всех возможных элементарных исходов испытания.

Из определения вероятности вытекают следующие ее

свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события

равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события

равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть

положительное число, заключенное между нулем и единицей.

СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ

Рассмотрим относительную частоту появления события А как отношение числа испытаний, в кото­рых появилось событие А, к общему числу произведенных испытаний:

,

где т – число испытаний, в которых появилось событие, п – число всех испытаний.

Т.о., для определения относительной частоты необходимо проводить испытания, когда для определе­ния вероятности проводить испытания не требуется. Если число испытаний достаточно велико, то от­носительная частота W(A) обнаруживает свойство устойчивости: колеблется около некоторого посто­янного числа, равного вероятности p(A).

Статистической вероятностью события А называют относительную частоту появления события А или число, близкое к ней.

Для определения статистической вероятности необходимы следующие условия:

1). Возможность проведения опытов в неограниченном количестве.

2). Устойчивость относительных частот в сериях.

Аксиоматическое определение

Вер-тью Р(А) случ. соб. А наз. числовая ф-ция, опред-ная на мн-ве соб-тий, удовл-щих 3 основным аксиомам ТВ:

1). Каждому события А ставится в соответствие неотрицательное действительное число p(A). Это число называется вероятностью.

2). Вероятность достоверного события равна 1: p(Ω)=1.

3). Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

4. Теоремы сложения вероятностей. Теоремы умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Доказательство. Введем обозначения: n—общее

число возможных элементарных исходов испытания; m₁ —

число исходов, благоприятствующих событию А; m₂ —

число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих

наступлению либо события А, либо события В, равно

m₁ + m₂. Следовательно,

Р (А + В) = (m₁ + m₂)/n — m₁/n + m₂/n.

Приняв во внимание, что m₁/n = P(A) и m₂/n — P{B), окончательно получим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Следствие 1. Сумма вероятностей событий А_1, А₂, ..., А_n, образующих полную группу, равна единице:

Противоположными называют два единственно

возможных события, образующих полную группу.

Следствие 2. Вероятность противоположных собы-

тий равна 1:

Теорема сложения вероятностей м. б. обобщена на люб. конечное число слагаемых.

Р(А+В+С)=Р(а)+Р(В)+Р(С)-Р(А*В)-Р(А*С)-Р(В*С)+Р(А*В*С)

Вер-ть 2-ух событий равна сумме вер=тей этих событий без вер-ти их совместного наступления

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Условной вероятностью РА (В) называют вероятность

события В, вычисленную в предположении, что событие А

уже наступило.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие. Вер-ть совм. появления неск. соб-ий независимых в сов-ти=произвед. вер-ти этих соб-ий Р(А₁, А₂…А_n)=Р(А₁)*Р(А₂)*…Р(А_n)

5. Ф-ла полной вер-ти.

6. Вер-ть гипотез. Ф-ла Байеса.