41. П одпространство, порожденное системой векторов. Определение и пример.

Подпространством, порождённым векторами

н азывают подмножество всех линейных комбинаций этих векторов, т.е.

41. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Примеры.

Совокупность векторов

н азывается линейно зависимой (ЛЗС), если найдутся числа , не равные нулю одновременно, такие, что выполняется равенство:

.

В противном случае совокупность

называется линейно независимой (ЛНС).

41. Координаты вектора в базисе. Определение и пример.

П усть дан - базис векторного пространства V и вектор X из V.

К оординатами вектора Х в этом базисе называют коэффициенты в разложении:

41. Евклидово пространство. Определение и простейшие свойства скалярного произведения.

Д ействительное линейное пространство E называется евклидовым пространством , если каждой паре векторов X и Y из E поставлено в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением векторов X и Y, причем выполнены следующие условия:

1)

2)

3)

41. Длина вектора. Определение и пример.

Д линой вектора X называется число

Если , то вектор X называется нормированным

А лгебраические свойства длины вектора:

1)

2)

3)

Пример: e₁ = (1, 2, 1, 1) |е₁|= =

41. Неравенство Коши-Буняковского.

Для любых векторов X и Y евклидова пространства E

с праведливо неравенство Коши-Буняковского

41. Угол между векторами. Ортогональность векторов. Определения и примеры.

У гол между ненулевыми векторами определяется следующим образом:

 Пример: e₁ = (1, 2, 1, 1), e₂ = (−1, 2, 1, 1)

41. С калярное произведение в Rⁿ. Определение и пример.

Скалярным произведением векторов

называется число

41. Д лина вектора и угол между векторами в Rⁿ. Примеры.

Длиной вектора называется число

Угол между ненулевыми векторами

в пространстве Rⁿ :

Условие ортогональности векторов:

41. Неравенство Коши-Буняковского в Rⁿ.

Н еравенство Коши-Буняковского для пространства Rⁿ:

Н еравенство треугольника для пространства Rⁿ:

41. О ртонормированный базис. Определение и пример.

Б азис n-мерного евклидова пространства называется ортонормированным, если

Другими словами,

ортонормированным базисом называется базис, состоящий из попарно ортогональных векторов, каждый из которых имеет длину, равную единице.

41. Ортогональное дополнение подпространства в Rⁿ. Определение и свойства.

Ортогональным дополнением подпространства U из Rⁿ называется подпространство, состоящее из векторов, ортогональных любому вектору из U.

С войства ортогонального дополнения:

41. Процесс ортогонализации Шмидта.

Теорема (об ортогонализации)

В любом подпространстве евклидова пространства E можно выбрать ортонормированный базис.

Е сли задан произвольный базис , то векторы

где , образуют ортогональный базис,

а - ортонормированный базис

41. Построение ортогонального базиса в Rⁿ.

42. Связь однородной системы линейных уравнений и ортогонального дополнения пространства решений.

П усть U – множество решений ОСЛУ

41. Алгоритм нахождения расстояния и угла между вектором и подпространством в Rⁿ.

42. Определение линейного оператора.

Линейным оператором в линейном пространстве L называется всякое отображение A : L → L пространства в себя, ставящее каждому единственный элемент , и обладающее свойствами:

41. М атрица линейного оператора.

Пусть A – линейный оператор в конечномерном пространстве L_n и ---- - некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Ae_k по базису B:

Т огда матрица

называется матрицей оператора A в базисе B.

41. Ядро и образ линейного оператора.

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве L .

О бразом линейного оператора называется

Ядром линейного оператора называется множество элементов из L , образом которых является нулевой элемент.

Ядро оператора обозначают Ker(A) :

Ядро линейного оператора - линейное пространство.

41. Преобразование матрицы линейного оператора при преобразовании базиса.

Определение.

М атрицей перехода от базиса к базису называется матрица:

k-й столбец которой есть столбец координат вектора в базисе B.

Пусть A и A’ – матрицы оператора A в базисах B и B’, а T = TB→B’ – матрица перехода от базиса B к базису B’.

Т огда формула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса

имеет вид:

41. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Если оператор A, действующий в пространстве L_n , имеет n линейно независимых собственных векторов e₁, e₂, … , e_n , соответствующих собственным числам

λ ₁, λ₂, … , λ_n , то в базисе из этих векторов матрица оператора A имеет диагональный вид:

41. Квадратичная форма. Определение и пример.

К вадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от нескольких переменных над полем вещественных чисел.

Пусть - переменные. Тогда

41. Матрица квадратичной формы. Определение и пример.

Матричной записью квадратичной формы называется следующее выражение:

41. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Примеры.

П усть в некотором базисе выражение квадратичной формы не содержит произведений , т.е.

Т огда выражение (*) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если

то получаем нормальный вид квадратичной формы.

41. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором она имеет канонический вид. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду:

• метод Лагранжа выделения полных квадратов;

• метод собственных векторов.

41. Теоремы об ортогональном преобразовании вещественных квадратичных форм.

1. Л юбую вещественную квадратичную форму можно привести к диагональному виду при помощи линейного преобразования переменных с ортогональной матрицей.

2. П усть , где

Т огда существует

где – собственные числа матрицы А, а столбцы матрицы С – собственные

векторы