Фундаментальное множество решений однородной слу.
О
бщее
решение однородной системы имеет вид
г
де
с1, с2,…,сn-r
– произвольные постоянные.
Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения, если свободным неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0.
Структура множества решений произвольной слу.
Собственные числа и собственные столбцы матрицы. Определение, простейшие свойства и примеры.
С
обственным
числом квадратной матрицы А
порядка n называется
такое число
,
для которого выполняется следующее
условие:
П ри этом столбец называется собственным столбцом матрицы А, соответствующим собственному числу
П
усть
φА(t)
– характеристический многочлен матрицы
A . Тогда:
1
)
- собственное число A
2
)
- собственный столбец A
для Х - решение СЛУ
Следствие.
У матрицы размера nxn не может быть более n различных собственных чисел.
Характеристический многочлен матрицы и его свойства.
Х
арактеристическим
многочленом квадратной матрицы
А порядка n называется
следующий многочлен:
П
усть
А, В, С - квадратные матрицы порядка n.
Верны следующие свойства:
1
)
- многочлен степени n
2
)
3)
Алгоритм решения задачи о собственных числах и собственных столбцах матрицы.
1
.
Составить характеристический многочлен
2
.
Найти собственные числа как корни
характеристического
уравнения
3
.
Для каждого собственного числа
ti
определить собственный столбец
Xi,
решив однородную СЛУ
Спектральное разложение матрицы. Пример
Б
удем
называть спектральным разложением
представление квадратной матрицы A
в виде
где S – матрица, составленная из собственных столбцов матрицы А,
D – диагональная матрица с собственными числами матрицы A на диагонали.
Замечание.
Матрица А допускает спектральное разложение только в том случае, если она обладает полным набором собственных столбцов.
Модель Леонтьева (модель межотраслевого баланса).
Матрица прямых затрат. Матричная запись уравнения межотраслевого баланса. Пример.
Эквивалентные формулировки уравнения межотраслевого баланса.
Матрица полных затрат.(ответ на вопросы 45-48)
Межотраслевой баланс (МОБ) — экономико-математическая балансовая модель, характери-зующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны между выпуском продукции в одной отрасли и затратами продукции всех участвующих отраслей, необходимыми для обеспечения этого выпуска.
Определим технологическую матрицу
(матрицу прямых затрат)
вектор спроса и вектор выпуска
, или -
классическая модель
«затраты-выпуск»
Эквивалентные формулировки уравнения
межотраслевого
баланса:
- каноническая форма
- приведенная форма
Матрица (E – A)-1 называется матрицей полных затрат.