1. Определение и свойства операции сложения матриц.

Суммой A+B матриц размера mхn и называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B :

Свойства:

1. А+В = В+А

2. (A+B)+C = A+(B+C)

2. О пределение и свойства операции умножения матриц на число.

П роизведением числа и матрицы называется матрица , получающаяся из матрицы A умножением всех ее элементов на :

Свойства:

1. λ(A+B) = λA+λB

2. λ(AB)=(λA)B=A(λB)

3. О пределение и свойства операции умножения матриц.

П роизведением AB матрицы размера mхn и матрицы размера nхk называется матрица размера mхk , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B :

Свойства:

1. A(B+C) = AB + AC

2. (A+B)C = AC + BC

3. А(ВС)=(АВ)С

4. Некоммутативность умножения матриц.

Для матриц, вообще говоря, АВ ≠ ВА.

Если АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутирующими.

5. Единичная матрица и её свойства.

Д ля квадратных матриц определена единичная матрица порядка n – квадратная матрица nxn , все диагональные элементы которой равны единице, а остальные – нулю:

Свойство:

Для любой квадратной матрицы А выполнено:

АЕ = ЕА = А

6. Обратимые матрицы и их свойства.

Квадратная матрица А называется обратимой, если найдётся квадратная матрица В такая, что выполняются равенства:

А ^. В = В ^. А = Е

В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается

В = А^-1

С войства:

1 )

2)

7. Транспонирование матрицы. Простейшие свойства.

A - матрица размера m x n

А^T - матрица размера n x m ,

называется транспонированной для A

Обозначения:

Свойства:

1 )

2 )

3)

8. Определение многочлена от матрицы.

Е сли А – квадратная матрица n-го порядка и

– многочлен m-й степени, то выражение

,

где Е – единичная матрица порядка n, называется многочленом от матрицы А .

9. Определители 2-го порядка.

О пределителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (определителем матрицы А), называется число

10. О пределители 3-го порядка.

Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице A , называется число

11. О пределитель матрицы порядка n. Определение.

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице A, называется число detA, равное сумме всех произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки и снабженных знаком «+» или «-» по определённому правилу – «правилу знаков»:

Ч исло t (s) равно числу транспозиций, которое нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки (1,2,…,n) к перестановке

12. Общее правило знака.

Ч исло t (s) равно числу транспозиций, которое нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки (1,2,…,n) к перестановке

13. Свойства определителя: определитель транспонированной матрицы.

Определитель не меняется при транспонировании (свойство равноправности строк и столбцов матрицы).

14. Свойства определителя: определитель матрицы, содержащей нулевую строку (столбец).

Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то и определитель равен нулю.

15. Свойства определителя: определитель матрицы, строка которой есть сумма двух строк.

Если в определителе некоторая строка (столбец) есть сумма двух других строк (столбцов), то определитель равен сумме двух определителей с этими строками (столбцами) , а все остальные строки (столбцы) этих определителей равны строкам (столбцам) исходного определителя.

16. Свойства определителя: определитель матрицы, строка которой имеет общий множитель.

Е сли все элементы некоторой строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя).

17. Свойства определителя: изменение определителя при перемене местами двух строк; определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

При перестановке двух строк (столбцов) между собой величина определителя меняет лишь знак.

Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

18. Свойства определителя: поведение определителя при элементарных преобразованиях матрицы.

1. При умножении строки (столбца) на число, отличное от нуля определитель тоже умножается на это число.

2. При прибавлении к одной строке (столбцу) другой, умноженной на любое число определитель не меняется.

3. При перемене местами двух строк (столбцов) определитель меняет лишь знак.

19. Определитель верхнетреугольной матрицы.

О пределитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

20. А лгебраическое дополнение элемента матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента называется следующий определитель n-го порядка

21. Минор, соответствующий элементу матрицы. Связь между минором и алгебраическим дополнением элемента матрицы.

Минором соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

22. Определитель клеточнодиагональной матрицы.

Определитель клеточно-диагональной матрицы равен произведению определителей матриц, являющихся клетками исходной матрицы.

A1

A2

A =

A3

23. Методы вычисления определителя: алгоритм приведения к верхнетреугольному виду.

П усть требуется вычислить определитель порядка n.

1. Полагаем Если a₁₁=0, то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не равен нулю.

2. П ервую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда

И так для каждой k-й строки, k=2,…,n.

П осле первого этапа преобразований матрица примет вид

В силу свойств определителя

3. А налогичным образом получим нули ниже главной диагонали в столбцах 2, 3, …, n.

4. 

24. М етоды вычисления определителя: алгоритм метода понижения порядка.

Минором соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

С праведливо следующее равенство:

Р азложение определителя по i-ой строке

25. Определение обратной матрицы.

Квадратная матрица А называется обратимой, если найдётся квадратная матрица В такая, что выполняются равенства:

А*В = В*А = Е

В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается

В = А^-1

26. Теорема об условии существования обратной матрицы.

Д ля того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля, т.е. чтобы А была невырожденной. При этом

27. Свойства обратной матрицы.

1)

2)

28. М етоды построения обратной матрицы: алгоритм метода присоединенной матрицы.

П рисоединенная матрица определяется как транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A :

Справедливо равенство

Из теоремы следует, что если A – невырожденная матрица, то

29. Методы построения обратной матрицы: алгоритм метода элементарных преобразований.

Для данной квадратной матрицы A n-го порядка строят прямоугольную матрицу Г_А = ( A | E ) размера nх2n, приписывая к A справа единичную матрицу.

Используя элементарные преобразования над строками, приводят матрицу Г_А к виду ( E | B ) , что всегда возможно, если A невырождена. Тогда B = A^-1.

30. Определение ранга матрицы.

Р ангом rgA матрицы А = {a_ij} называется целое число r , такое, что среди миноров r–го порядка матрицы А имеется хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю или миноров порядка (r+1) вообще нет.

Замечание: очевидно, что

31. Методы вычисления ранга матрицы: алгоритм метода элементарных преобразований.

М етод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к трапециевидному виду, т.е. такому виду, когда все элементы при равны нулю и все строки с номерами i > r являются нулевыми.

Тогда rgA = r

32. Методы вычисления ранга матрицы: алгоритм метода окаймляющих миноров.

Пусть в матрице найден минор M k-го порядка, отличный от нуля. Рассматривают те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M. Если все они равны нулю, то rgA = k.

В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)-го порядка, и вся процедура повторяется.

33. Теорема Кронекера-Капелли.

С ЛУ совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы.

34. Теорема о числе решений СЛУ.

Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r

Тогда:

1. если r = n , то система имеет единственное решение;

2. если r < n , то система имеет бесконечно много решений, причем (n – r) неизвестным можно присвоить произвольные значения, а остальные r неизвестных выражаются через них единственным образом.

35. Следствия из теоремы о числе решений СЛУ.

1. Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица коэффициентов системы невырожденная.

2. Однородная система A^.X= 0 всегда совместна, т.к. имеет тривиальное решение X= 0. Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось r = rgA < n.

36. Алгоритмы решения определенной СЛУ: правило Крамера.

Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных

Т огда система имеет единственное решение

где – определитель, получаемый из определителя заменой i -го столбца на столбец свободных членов.

37. Алгоритмы решения определенной СЛУ: метод Гаусса.

Идея метода Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы СЛУ элементарными преобразованиями над строками к некоторому специальному виду (треугольному для матрицы коэффициентов) – прямой ход схемы Гаусса и нахождению затем множества решения системы с полученной расширенной матрицей (эта система равносильна исходной) – обратный ход схемы Гаусса.

38. А лгоритм решения произвольной СЛУ.

П усть , т.е. система совместна,

Приведем матрицу A к трапециевидному виду.

О тбросив последние m – r уравнений, запишем укороченную систему, эквивалентную исходной:

Назовем неизвестные x₁, x₂,…,x_r базисными, x_r+1, x_r+2,…,x_m свободными.

З апишем укороченную систему в виде

Для каждого набора свободных неизвестных

x_r+1= с₁ , x_r+2= с₂ , … , x_n= с_n-r

укороченная система имеет единственное решение:

называемое общим решением исходной СЛУ.