Что такое логарифмическое уравнение?

Это уравнение с логарифмами. Вот удивил, да?) Тогда уточню. Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся внутри логарифмов. И только там! Это важно.

Вот вам примеры логарифмических уравнений:

log₂х = 32

log₃х = log₃9

log₃(х²-3) = log₃(2х)

log_х+1(х²+3х-7) = 2

lg²(x+1)+10 = 11lg(x+1)

Ну, вы поняли...)

Обратите внимание! Самые разнообразные выражения с иксами располагаются исключительно внутри логарифмов. Если, вдруг, в уравнении обнаружится икс где-нибудь снаружи, например:

log₂х = 3+х ,

это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Кстати, попадаются уравнения, где внутри логарифмов только числа. Например:

х+1 = lg4+lg25

Что тут сказать? Повезло вам, если попалось такое! Логарифм с числами - это какое-то число. И всё. Достаточно знать свойства логарифмов, чтобы решить такое уравнение. Знания специальных правил, приёмов, приспособленных именно для решения логарифмических уравнений, здесь не требуется.

Итак, что такое логарифмическое уравнение - разобрались.

 

Как решать логарифмические уравнения?

Решение логарифмических уравнений - штука, вообще-то, не очень простая. Так и раздел у нас - на четвёрку... Требуется приличный запас знаний по всяким смежным темам. Кроме того, существует в этих уравнениях особая фишка. И фишка это настолько важная, что её смело можно назвать главной проблемой в решении логарифмических уравнений. Мы с этой проблемой в следующем уроке детально разберёмся.

А сейчас - не волнуйтесь. Мы пойдём правильным путём, от простого к сложному. На конкретных примерах. Главное, вникайте в простые вещи и не ленитесь ходить по ссылкам, я их не просто так поставил... И всё у вас получится. Обязательно.

Начнём с самых элементарных, простейших уравнений. Для их решения желательно иметь представление о логарифме, но не более того. Просто без понятиялогарифма, браться за решение логарифмических уравнений - как-то и неловко даже... Очень смело, я бы сказал).

Простейшие логарифмические уравнения.

Это уравнения вида:

1.   log₃х = log₃9

2.   log₇(2х-3) = log₇х

3.   log₇(50х-1) = 2

4.   log_х-18 = 1

И так далее.

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших уравнениях этот переход осуществляется в один шаг. Потому и простейшие.)

И решаются такие логарифмические уравнения на удивление просто. Смотрите сами.

Решаем первый пример:

log₃х = log₃9

Для решения этого примера почти ничего знать и не надо, да... Чисто интуиция!) Что нам особо не нравится в этом примере? Что-что... Логарифмы не нравятся! Правильно. Вот и избавимся от них. Пристально смотрим на пример, и у нас возникает естественное желание... Прямо-таки непреодолимое! Взять и выкинуть логарифмы вообще. И, что радует, это можно сделать! Математика позволяет. Логарифмы исчезают, получается ответ:

х = 9

Здорово, правда? Так можно (и нужно) делать всегда. Ликвидация логарифмов подобным образом - один из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция называется потенцирование. Есть, конечно, свои правила на такую ликвидацию, но их мало. Запоминаем:

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.

Поясню последний пункт. В уравнении, скажем,

log₃х = 2log₃(3х-1)

убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет. Коэффициент, понимаешь... В примере

log₃х+log₃(х+1) = log₃(3+х)

тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:

log_а(.....) = log_а(.....)

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение.Предполагается, конечно, что решать линейные, квадратные, дробные, показательные и прочие уравнения без логарифмов вы уже умеете.)

Теперь легко можно решить второй пример:

log₇(2х-3) = log₇х

Собственно, в уме решается. Потенцируем, получаем:

2х-3 = х

х=3

Ну что, очень сложно?) Как видите, логарифмическая часть решения уравнения заключается только в ликвидации логарифмов... А дальше идёт решение оставшегося уравнения уже без них. Пустяшное дело.

Последующие примеры уже так не решить... Тут уже надо знать, что такое логарифм.

Решаем третий пример:

log₇(50х-1) = 2

Видим, что слева стоит логарифм:

log₇(50х-1)

Вспоминаем, что этот логарифм - какое-то число, в которое надо возвести основание (т.е. семь), чтобы получить подлогарифменное выражение, т.е. (50х-1).

Но это число равно двум! По уравнению. Стало быть:

7² = 50х-1

Вот, в сущности, и всё. Логарифм исчез, осталось безобидное уравнение:

50х-1 = 49.

х = 1.

Мы решили это логарифмическое уравнение исходя только из смысла логарифма. Что, ликвидировать логарифмы всё-таки проще?) Согласен. Между прочим, если из двойки логарифм сделать, можно этот пример и через ликвидацию решить. Из любого числа можно логарифм сделать. Причём, такой, какой нам надо. Очень полезный приём в решении логарифмических уравнений и (особо!) неравенств.

Не умеете из числа логарифм делать!? Ничего страшного. В разделе 555 этот приём подробно описан. Можете освоить и применять его на полную катушку! Он здорово уменьшает количество ошибок.

Совершенно аналогично (по определению) решается и четвёртое уравнение:

log_х-18 = 1

(х-1)¹ = 8

х-1 = 8

х = 9

Вот и все дела.

Подведём итоги этого урока. Мы рассмотрели на примерах решение простейших логарифмических уравнений. Это очень важно. И не только потому, что такие уравнения бывают на контрольных-экзаменах. Дело в том, что даже самые злые и замороченные уравнения обязательно сводятся к простейшим!

Собственно, простейшие уравнения - это финишная часть решения любых уравнений. И эту финишную часть надо понимать железно! И ещё. Обязательно дочитайте эту страничку до конца. Есть там сюрприз...)

 

Решаем теперь самостоятельно. Набиваем руку, так сказать...)

Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнений:

ln(7х+2) = ln(5х+20)

log₂(х²+32) = log₂(12x)

log₂х = 4

log₁₆(0,5х-1,5) = 0,25

log_0,2(3х-1) = -3

ln(е²+2х-3) = 2

log_х5 = 0,5

log₂(14х) = log₂7 + 2

Ответы (в беспорядке, разумеется): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Что, не всё получается? Бывает. Не горюйте! В разделе 555 решение всех этих примеров расписано понятно и подробно. Там уж точно разберётесь. Да ещё и полезные практические приёмы освоите.

 

Всё получилось!? Все примеры "одной левой"?) Поздравляю!

Но...

Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение этих примеров вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных логарифмических уравнений. Даже простейших, подобных этим. Увы.

Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения (даже самого элементарного!) состоит из двух равноценных частей. Решение уравнения, и работа с ОДЗ. Одну часть - решение самого уравнения - мы освоили. Не так уж и трудно, верно?

Для этого урока я специально подобрал такие примеры, в которых ОДЗ никак на ответе не сказывается. Но не все такие добрые, как я, правда?...)

Посему надо обязательно освоить и другую часть. ОДЗ. Это и есть главная проблема в решении логарифмических уравнений. И не потому, что трудная - эта часть ещё проще первой. А потому, что про ОДЗ просто забывают. Или не знают. Или и то, и другое). И падают на ровном месте...

В следующем уроке мы расправимся с этой проблемой. Вот тогда можно будет уверенно решать любые несложные логарифмические уравнения и подбираться к вполне солидным заданиям.

Методы решения логарифмических уравнений

Решение любого логарифмического уравнения также сводится к решению одного или нескольких простейших логарифмических уравнений: 1) logaf(x)= logag(x);                                            2) logaf(x)=b. Уравнение (2) сводится к уравнению вида (1): logaf(x)= logaab. Уравнения вида (1) сводятся к решению уравнений f(x)= g(x) (потенцирование). При этом необходимо помнить, что уравнения logaf(x)= logag(x) и f(x)= g(x) не равносильны. При потенцировании происходит расширение области определения, а значит имеется опасность появления посторонних корней. Проверка – наилучшее средство против такой опасности. 1 тип – по определению логарифма: а)  . Решение:  ; 2x–1=9; x=5. Проверка:  ;  ;  ; –2=–2 – верно. Ответ: х=5. б)  . Решение:  ;  ;  ; ; х1=–1 и х2=–3. Проверка: х=–1, log3(1–4+12)=2; log39=2; 2log33=2; 2=2 – верно; х=–3, log3(9–12+12)=2; log39=2; 2log33=2; 2=2 – верно. Ответ: х=–1, х=–3. в)  . Решение:  ;  . Пусть  , тогда уравнение запишем в виде  ;  ;   ;  ;  ;  ;  ; x=2;  . Проверка:  ;   – верно. Ответ: х=2. 2 тип – уравнения, которые с помощью логарифмических тождеств сводятся к простейшим уравнениям: а) lg(x–3)+lg(x–2)=1–lg5. Решение: lg[(x–3)(x–2)]=lg10–lg5; lg(x2–5x+6)=lg2; x2–5x+6=2; x2–5x+4=0; x1,2= ; x=4 и х=1. Проверка: х=4; lg(4–3)+ lg(4–2)=1– lg5; lg1+ lg2= lg2; lg2= lg2 – верно;   х=1; lg(1–3)+ lg(1–2)1– lg5, так как выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть всегда положительным. Ответ: х=4; б)  . Решение:  ;  ; 2 lg(4(х–3))= lg(3(7х+1)(х–6)); lg(4(х–3))2= lg(3(7х+1)(х–6)). Потенцируем: 16х2–96х+144=21х2–123х–18; –5х2+27х+162=0; 5х2–27х–162=0; х1,2= ; х1=9; х2= . Проверка: х=9;  ;  ;  – верно; х= ;   – ложно, так как подлогарифмическое выражение не может быть отрицательным. Ответ: х=9; в)  . Решение. Воспользуемся формулой  ; ;  ;  ; x=27. Проверка:  ;  ;  – верно. Ответ: х=27; г)  . Решение:  . Потенцируем: (3х–11)(х–27)=1000; 3х2–92х–703=0. х1,2= ; х1=37 и х2= . Проверка: 1.  ; ;  =  – верно. 2.  , так как выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительное. Ответ: х=37. 3 тип – уравнения вида P(logax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Эти уравнения решаются с помощью подстановки: y= logax. а)  . Решение:  . Пусть  ; y2–2y–3=0. Решаем уравнение и получаем y1=3 и y2=–1; y=3    х=27; y=–1    х= . Проверка: х=27;  ;  ; 9–6–3=0 – верно; х= ;  ;  ; 1+2–3=0 – верно. Ответ: х=27; х= ; б)  . Решение. Прежде всего надо иметь в виду, что если в уравнениях встречаются логарифмы с разными основаниями, то их надо привести к одному основанию с помощью формулы:  . В данном случае переходим к основанию 5.  ; . Обозначим  ; (1+2y)y=1; 2y2+y–1=0; y1=–1, y2= ;   или  ; х= ; х= . Проверка: 1)  ;  ; 1=1 – верно; 2)  ;  ; ; 1=1 – верно. Ответ: х= ; х= . 5 тип – логарифмирование обеих частей уравнения. Пример:  . Решение:  ; (lgx+1)lgx=3–lgx; lg2x+lgx=3–lgx; y=lgx; y2+2y–3=0. Решаем уравнение: y1=–3; y2=1; lgx=–3 или lgx=1, x=10–3; x=10. Проверка: 1)  ;  ;  ; 106=106 – верно; 2)  ; 102=100; 102=102 – верно. Ответ: х=10–3; х=10.