3.4. Деревья

Корневым деревом называется множество элементов, в котором выделен элемент, называемый корнем дерева, а все остальные элементы разбиты на несколько непересекающихся подмножеств, называемых поддеревьями, каждое из которых тоже есть дерево.

Элементы дерева связывают между собой таким образом, чтобы каждый узел был связан с корнями своих поддеревьев. Вышестоящий узел называют предком, нижестоящие - поддеревьями или потомками, узлы одного уровня - братьями. Узел, не имеющий поддеревьев, называют концевым узлом, или листом.

Наиболее распространенными способами представления деревьев в памяти компьютера являются следующие:

а) каждый узел дерева хранит указатель на родительский узел; данный способ удобен, если требуется только подниматься вверх по дереву, но такие ситуации встречаются нечасто;

б) если у каждого узла не более некоторого ограниченного количества потомков, то указатели на потомки можно хранить в векторе;

struct Node

{

void *data;

Node* children[10];

};

в) использование списка (как правило, односвязанного) для хранения указателя на потомков; как разновидность такого решения является хранение в каждом узле двух указателей: на одного из потомков и на одного из братьев.

г) обобщение вариантов (а) и (в) как наиболее общее решение;

struct Node

{

void *data;

Node *parent;

Node *child;

Node *brother;

};

struct Tree

{

Node *root;

};

Бинарное дерево

Бинарное дерево - такое дерево, каждый узел которого содержит не более двух поддеревьев, которые называют соответственно левое и правое поддерево. Такие деревья ещё называют двоичным деревом поиска.

Бинарные деревья используют для создания ассоциативных массивов, а также для синтаксического разбора языковых конструкций.

При использовании бинарного дерева для хранения ассоциативных массивов используюется следующий подход: первый объект добавляется в корень дерева. Если ключ следующего объекта меньше ключа корневого элемента, то он добавляется в левое поддерево, иначе в правое. Ключ следующего элемента сравнивается с ключем корневого элемента по такому же приципу, но, если в том поддереве, куда должен быть добавлен элемент, уже есть потомок, то сравнение происходит с этим потомком по такому же принципу: если ключ добавляемого элемента меньше, то вставка происходит влево, иначе вправо. Для каждого последующего элемента используется такой же алгоритм: происходит спуск по дереву по приведенному выше условию до тех пор, пока не будет найдено свободное поддерево.

Поиск в таком дереве проиходит по аналогичному алгоритму.

Рассмотрим пример (рис ххх).

Пусть были добавлены объекты со следующими ключами: 7, 4, 2, 12, 8, 6, 5, 9. "7" помещается в корень. Так как 4<7, соответствующий узел добавляется в левое поддерево. 2<4<7 -> "2" помещается в левое поддерево "4". 12>7 -> "12" помещается в правое поддерево "7". И т.д.

Обход дерева

Для выполнения некоторой операции над каждым узлом дерева используются так называемые алгоритмы обхода дерева.

3.5. Множества, графы Множества

Множество - составной объект, хранящий объекты одного класса, основными операциями над которым является добавление, удаление и проверка принадлежности к множеству элементов. Порядок расположения элементов в множестве несущественен. Множество реализуется таким образом, чтобы обеспечить быстрое выполнение всех трех применимых к нему операций.

Наиболее распространены два способа реализации множеств:

а) на основе бинарного дерева;

б) если размер множества ограничен, то наилучшим решением будет использование массива битов, в котором 1 соотвествует присутствию элемента со значением, соответствующим номеру бита в массиве; в этом случае сложность вставки, удаления и поиска =1, а расходы памяти составляют N/8 байт.

Графы

В математике графу дается следующее определение: графом называется пара множеств (V,E), где V - конечное множество элементов, называемых вершинами графа, а E - конечное множество упорядоченных пар e = (A,B), называемых дугами, где A и B - вершины. Говорят, что дуга e выходит из вершины A и входит в вершину B. Вершины А и В называют инцидентными дуге е, а дугу е - инцидентной вершинам А и В.

Структуру графа можно описать, сопоставив каждой вершине множество дуг, выходящих из неё, причем каждая дуга, выходящая из вершины, идентифицируется своим концом - номером вершины, в которую эта дуга входит. Такое описание называют S-графом (set-graph).

Пусть в графе N вершин, а класс Set реализует множество чисел от 0 до N-1, тогда S-граф можно представить следующим образом:

struct SGraph

{

Set vertex[N];

};

Для такого графа достаточно легко реализуется добавление и проверка принадлежности дуг. Задача подсчета количества дуг решается полным перебором всех вершин.

Другим распространенным способом представления графа является представление в виде матрицы смежности размера NxN. В этой матрице в элементе с индексом (i,j) указывается наличие дуги из i в j. Такое представление называют M-графом (matrix-graph). При таком представлении графа может быть указано не только наличие дуги, но и её вес. Недостатком такого представления является большой занимаемый объем памяти. Если число дуг невелико, то размер памяти, занимаемый M-графом будет сущесвенно больше, чем занимаемый S-графом.

struct MGraph

{

char vertex[N][N];

};

Если число исходящих из вершин дуг невелико, их удобно представлять в виде связанного списка. Такое представление называют L-графом (list-graph).