8. Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона.

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а, b]. Разобьем сегмент [а, b] произвольным образом на n частей точками .

Обозначим через

На каждом из сегментов выберем произвольные точки и составим интегральную сумму:

Обозначим . Если  конечный , не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b] и выбора точек , то его значение называется определенным интегралом от функции f(x), его обозначение , а функция f(x) называется интегрируемой на [а, b].

Т1. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она ограничена (последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для ) на этом сегменте. Если не ограничена => не интегрируема.

ДОК-ВО

Если функция f(x) не ограничена на [а, b], то  по крайней мере одна точка с  [а, b], в окрестности которой эта функция принимает сколь угодно большие по модулю значения. Тогда хотя бы один из отрезков [x_i; x_i+1]  c  за счет выбора точки произведение можно сделать как угодно большими по модулю  может быть сделана как угодно большой, значит не существует конечного предела суммы  неограниченная функция не является интегрируемой. ЧТД.

Покажем, что не всякая ограниченная функция является интегрируемой:

Функция ограничена, покажем, что она не интегрируема.

1) пусть – рац.

2) пусть – иррац.

зависит от выбора точек => функция не интегрируема.

Верхняя и нижняя сумма Дарбу.

Пусть функция у = f(x) ограничена на отрезке [а, b] и  ограничена на каждом из сегментов [x_i; x_i+1], тогда  m_i и M_i, где

• – инфимум (точная нижняя грань: мн-во наз-ся ограниченным снизу, если (d-нижняя грань мн-ва А). Мн-во всех нижней граней обозначим ч/з D максим.из нижних граней наз-ся точной нижней гранью)

• – супремум (точная верхняя грань: мн-во наз-ся ограниченным сверху, если сущ-ет (b-верхняя грань мн-ва А). Мн-во всех верхних граней обозначим ч/з А наим.из верхних граней наз-ся точной верхней гранью)

Верхняя сумма Дарбу: Геометрический смысл верхней и нижней суммы Дарбу:

Нижняя сумма Дарбу:

Т(необх. и дост. условие интегрируемости функции на [а, b]). Для того чтобы ограниченная на [а, b] функция у = f(x) была интегрируема на этом отрезке  для   > 0  такое разбиение отрезка [а, b], что S – s < .

Достаточные условия интегрируемости:

1) Если функция f(x) непрерывна на [а, b], то она интегрируема на нем.

2) Если функция f(x) монотонна на [а, b], то она интегрируема на нем.

3) Если функция f(x) ограничена на [а, b] и имеет лишь конечное число точек разрыва (т.е. является кусочно-непрерывной, разрывы I рода), то она интегрируема на [а, b].

Геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции)

П усть на отрезке [а, b] задана непрерывная положительная функция у = f(x).

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху – графиком функции у = f(x), снизу – осью Ox, справа и слева – вертикальными прямыми

Разобьем отрезок [а, b] произвольным образом на n частей точками и через каждую точку проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции у = f(x).

Обозначим через

На каждом из сегментов выберем произвольные точки и на построим прямоугольник высотой , тогда

Составим интегральную сумму:

= площади ступенчатого тела.

Формулы трапеций. Для приближенного вычисления , где функция f(x) непрерывна на [а, b], делят отрезок [а, b] на n равных частей и выбирают шаг вычислений . Пусть x_i – точки деления, x_i = a + ih, i = 0..n.

Формула трапеций:

с абсолютной погрешностью

Для достижения заданной точности  шаг вычислений определяется из неравенства:

значения h округляется в сторону уменьшения так, чтобы n = (b – a) / h было целым. Установив h, вычисляют интеграл, беря значение подынтегральной суммы хотя бы с одним запасным десятичным знаком.

Формулы Симпсона (параболическая). При применении формулы Симпсона n должно быть четным. Берется [x₀; x₂] через три точки (x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂) проводят параболы и считают

с абсолютной погрешностью

Шаг вычислений определяется из неравенства:

h имеет порядок

Значения h округляют в сторону уменьшения так, чтобы n = (b – a) / h было целым четным числом.

ЗАМЕЧАНИЕ: так как определение M₂ и M₄, вообще говоря, затруднительно, то на практике h подбирают исходя из здравого смысла, грубой прикидки. Затем шаг уменьшают вдвое и заново проводят вычисления. Если новый результат совпадает с полученным в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисления заканчиваются.

Для вычисления абсолютной погрешности формулы Симпсона можно применять принцип Рунге:

– результаты вычисления по формуле Симпсона соответственно с шагом h и 2h.

Не обязательно Свойства 1 если функции f(x) и (x) интегрируемы на [а, b], то функция f(x) + (x) также интегрируема на [а, b]: 2 будем считать по определению 3 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она интегрируема и на [b, а]: 4 если функция f(x) интегрируема на  двух из отрезков [а, b], [а, c], [c, b], то она интегрируема и на третьем отрезке: 5 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то |f(x)| также интегрируема и на [b, а]. При этом: Обратное утверждение неверно, т.е. из интегрируемости |f(x)| не следует интегрируемость f(x): |f(x)| = 1 интегрируема, но f(x) не интегрируема. 6 если функция f(x) интегрируема на [а, b] и f(x) > 0, то 7 [теорема о двусторонней оценке] если функция f(x) интегрируема на [а, b] и m  f(x)  M, то 8 [теорема о среднем] если функция f(x) непрерывна на [а, b], то  точка c(а, b):

Вопрос 11.

Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ДУ). Метод Лагранжа. Построение частного решения неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами при специальной правой части.

1. Структура общего решения линейного неоднородного ДУ (ЛНДУ).

Ly=f (1)

Полезными являются следующие свойства решений:

Теорема 1: Если у₀ – решение однородного,

у_* - решение неоднородного, то

у₀ + у_* - решение неоднородного.

Док-во: L(y₀ + y_*) = Ly₀ + Ly_* = 0 + f = f. ч.т.д.

Теорема 2: Если у_i – решение уравнения Ly = f_i ( ), то

- решение уравнения вида .

Док-во: . ч.т.д.

Основным результатом является следующая теорема:

Теорема 3: (о структуре общего решения ЛНДУ)

Справедлива следующая формула:

у_о.н. = у_о.о. + у_ч.н. (2)

где у_о.н. – общее решение неоднородного;

у_о.о. - общее решение однородного;

у_ч.н. - частное решение неоднородного.

Док-во: Исследуем (1). Замена:

у = у_ч.н. + z, z = ?.

~ L(y_н.ч. + z)= f ~ Ly_ч.н. + Lz = f ~ f+Lz = f ~ Lz=0 ~ z=y_о.о.

Тогда:

у = у_о.о. + у_ч.н. ~ y_о.н. = у_о.о. + у_ч.н.

ч.т.д.

2. Метод Лагранжа (Метод вариации произвольных постоянных(МВПП)).

Замечание: В рамках этого метода предлагается условие, которое упрощает дальнейшие рассуждения. Для понимания смысла такого условия достаточно рассмотреть лишь уравнение 2-го порядка.

(1)

где - известные функции

y = g(x) - искомая функция.

1) Предварительно решается соответствующее однородное уравнение: (2)

Пусть (3) - общее решение, причем {z₁+z₂} – ФСР уравнения (2).

~ и:

2) Согласно методу вариации произвольных постоянных (Лагранжа), решение уравнения (1) отыскивается в виде (3), в котором и - новые неизвестные функции.

(4)

и

Следовательно нужно иметь 2 условия:

1-ое условие: (5)

Идея метода: Во избежание 2-х производных и налагаем доп-ные условия:

2-ое условие: (6)

подставляем в (1):

(7)

Относительно неизвестных и получим СЛАУ 2-го порядка:

(8)

Причем

По теореме Крамера сущ-ет единственное решение:

Тогда:

, следовательно по (4) находим общее решение ур-я (1).

3. Построение частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами при специальной правой части.

Зам:

В силу доказанного, т.е. y_о.н. = у_о.о. + у_*, основной задачей является построение

При специальной правой части достаточно просто строится методом неопределенных коэффициентов (МНК).

Под специальной правой частью будем понимать:

где

Pr, Ps – известные полиномы.

1. Решается характеристическое уравнение

2. - проверяется на корень.

~ k – кратность корня

Вводится:

Тогда (9)

где - полиномы степени m с неопределенными коэффициентами.

Неопределенные коэффициенты находим путем подстановки в формулу (9) данное неоднородное уравнение (1). При этом относительно них получается квадратная система линейных уравнений (как правило не полная система), которая имеет единственное решение.