6 Вопрос Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

Рассмотрим систему линейных уравнений  Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований  над расширенной матрицей система  приводится к «ступенчатому» виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, вычисляются неизвестные.

При реализации прямого хода метода Гаусса возможны следующие три случая.

1. В результате преобразований в системе уравнений будет получено уравнение вида  где  Ясно, что никакой набор действительных чисел этому уравнению удовлетворять не может, поэтому в таком случае система уравнений несовместна.

2. В результате преобразований получится ступенчатая система уравнений

в которой количество уравнений совпадает с количеством неизвестных.     

В этом случае система уравнений является определённой.

В результате преобразований получится система уравнений ступенчатого вида, в которой количество неизвестных больше числа уравнений системы ( )

В этом случае те неизвестные, которые стоят на «ступеньках», называются главными неизвестными ( ), а другие неизвестные называются свободными ( ); система уравнений будет неопределённой. Тогда обратный ход метода Гаусса состоит в том, что начиная с последнего уравнения системы, главные неизвестные выражаются через свободные и составляется общее решение системы уравнений. Для того чтобы получить какое-либо частное решение системы, свободным неизвестным придают конкретные числовые значения, вычисляя тем самым главные неизвестные.

7 Вопрос

При решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и его модификациями можно попутно вычислить определитель системы следующим образом.

В прямом ходе метода Гаусса матрица  системы (4.1) при условии, что ведущие элементы всех строк отличны от 0, приводится к треугольному виду. Последний получается после деления соответствующих строк на их ведущие элементы и последующего вычитания таких нормированных строк, умноженных на соответствующие числа, из других строк матрицы. При этом определитель матрицы тоже делится на соответствующий ведущий элемент, а последующие операции (умножения и вычитания) не меняют значения определителя матрицы  (см. [2, с. 146–147]; [6, с. 381]; [7, с. 283–284]).

В результате выполнения прямого хода схемы Гаусса получим систему (4.23) с треугольной матрицей, у которой определитель равен 1. Последний получается в результате деления  на ведущие элементы , т.е.

или

.

При решении системы методом Гаусса и его модификациями можно попутно вычислить определитель системы. Если стоит задача найти только определитель заданной матрицы , то вычисления проводятся по схеме, соответствующей прямому ходу метода Гаусса и его модификаций. При этом отсутствуют действия над столбцом правых частей системы. Число арифметических действий, выполняемых при вычислении определителя матрицы  с помощью этих методов, равно .

Замечание. В случае, когда при решении системы (4.1) применяется метод Гаусса с выбором главного элемента, или схема Жордана, рассуждая аналогично сказанному, получим, что в этом случае  равен произведению главных элементов.          

           Остановимся теперь на вопросе об определении элементов матрицы  (см. [2, с. 147–148]; [6, с. 379–380]; [7, с. 285–286]).

Пусть дана невырожденная матрица . Элементы обратной  матрицы будем обозначать . Очевидно, что

(4.37)

где  – единичная матрица, т.е.

(4.38)

Запишем (4.38) более подробно:

Получаем  систем из  линейных алгебраических уравнений, содержащих  неизвестных.

Все эти системы имеют одну и ту же матрицу  и отличаются между собой лишь свободными членами. В силу того, что при решении системы по методу Гаусса основные вычисления производятся над матрицей коэффициентов, то решение полученных  систем можно объединить в одной схеме и рассматривать одновременно  столбцов свободных членов. Естественно, что решение поставленной задачи предполагает использование ЭВМ.