54. Понятие об интервальной оценке параметров. Доверительная вероятность и доверительный интервал.

Задачей математической статистики является установление закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления. Для этого надо собрать статистические данные (получить репрезентативную выборку) и провести анализ полученных результатов в зависимости от целей исследования. Характеристики выборки позволяют, с определенной долей уверенности, получить представление об аналогичных характеристиках генеральной совокупности. Например, среднее выборочное позволяет оценить математическое ожидание генеральной совокупности, выборочная дисперсия, в определенной мере, характеризует генеральную дисперсию, показывающую разброс значений случайной величины относительно математического ожидания. То есть мы хотим по случайной выборке определить, какова генеральная совокупность. Понятно, что характеристики выборки зависят от ее состава, и каждая новая выборка дает разные значения для выборочного среднего и выборочной дисперсии. Можно предполагать, что выборочные характеристики не будут заметно отличаться от аналогичных характеристик генеральной совокупности, но, тем не менее, такие отличия существуют. Поэтому, получив значение выборочного параметра в виде отдельного числа (точечной оценки), мы вынуждены оценивать отклонение этой оценки от реального значения в генеральной совокупности. Следовательно, наряду с точечной оценкой, состоящей из одного числа, мы можем рассматривать интервальную оценку.

Интервальный метод оценивания параметров распределения случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, внутри которого, предположительно, находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода "лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок. Совокупность методов определения промежутка, в котором лежит значение искомого параметра, получила название методов интервального оценивания.

Пусть   – какая-либо характеристика генеральной совокупности. Как мы знаем, точное определение   по данной выборке невозможно. Но можно указать такой интервал  , что в него, с заданной достаточно высокой вероятностью, будет попадать неизвестное значение  . При этом, чем меньше этот интервал, тем более точную оценку мы сможем получить.

Постановка задачи нахождения интервальной оценки параметров заключается в следующем. Имеется: выборка наблюдений (x₁, x₂, …, x_n) за случайной величиной Х. Объем выборки n фиксирован. Необходимо с доверительной вероятностью  = 1–  определить интервал  ,  , который накрывает истинное значение неизвестного скалярного параметра  . Полученный интервал называется интервальной оценкой или доверительным интервалом.

Предполагается, что выборка представительная, ее объем достаточен для оценки границ интервала.

Величины   и   называются нижней и верхней доверительными границами. Доверительные границы интервала выбирают так, чтобы выполнялось условие   или  . При этом говорят, что случайный интервал   накрывает характеристику   с надежностью  . В инженерных задачах доверительную вероятность  назначают, обычно, в пределах от 0,95 до 0,99. В доверительном утверждении считается, что статистики   и   являются случайными величинами и изменяются от выборки к выборке. Это означает, что доверительные границы определяются неоднозначно, существует бесконечное количество вариантов их установления.

При фиксированном не очень большом объеме выборки   задание слишком высокой надежности интервальной оценки, скорее всего, приведет к тому, что доверительный интервал получится слишком длинным, и, следовательно, информация о том, что характеристика   принадлежит этому интервалу, не будет иметь никакой практической ценности. Доверительный интервал можно сузить (при фиксированной надежности  ), если использовать выборку большего объема  . Но получение новых выборочных значений связано с дополнительными затратами (материальными, временными и другими). Поэтому всякий раз необходимо соблюдать баланс между надежностью, объемом выборки и длиной доверительного интервала так, чтобы полученный результат соответствовал целям статистического исследования.

На практике применяют два варианта задания доверительных границ:

1) устанавливают симметрично относительно оценки параметра, тогда величина абсолютной погрешности оценивания равна половине доверительного интервала;

2) устанавливают из условия равенства вероятностей выхода за верхнюю и нижнюю границу.

Для симметричных распределений случайного параметра   оба варианта эквивалентны.

Нахождение доверительных интервалов требует знания вида и параметров закона распределения случайной величины . Для ряда практически важных случаев этот закон можно определить из теоретических соображений.