37.Эластичность производственной функции. Модель роста выпуска.

Предел отношения относительно приращения функции у к относительному приращению ее аргумента t называют эластичностью функции по этому аргументу и обозначаетс Для мультипликативной производственной функции:

; ; = ;

показатель степени фактора равен эластичности этого фактора.

Модель роста выпуска:Эластичность по фактору показывает на сколько %-ов увеличивается выпуск, если фактор увеличится на 1%.

Пример: ВВП РФ в 1960-94 г.г. описывается мультипликативной производственной функцией:

Числовые значения коэффициентов определялись на основной статистики путем определения коэффициентов линейной регрессии (для lny).

К ( млрд. руб. в сопоставимых ценах), L (млн. чел.). Если , имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае фондосберегающий (экстенсивный) рост. Темп роста выпуска ; , где ,

, при , темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов.

Если использовать степенную модель производственной функции действительных переменных с показателями степени, лежащими в пределах от нуля до единицы, то для такой модели будут выполняться следующие условия:

1) при отсутствии одного из ресурсов производство в целом невозможно, что записывается так:

F(0, L) = F(K, 0) = 0,

2) при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неогра- ниченно растет, то есть: F(K, ∞)=F(∞,L)=∞

3) с ростом ресурсов выпуск растет, что означает положительность первых производных: dQ/dK>0, dQ/dL>0

4) с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется, что означает отрицательность второй производной: ð²Q/ðK²<0, ð²Q/ðL²<0

38.Динамическая модель Кейнса

В рассматриваемой модели роль переменной Y- (ВВП). ВВП состоит из четырех частей: фонд не производственного потребления C; валовые частные внутренние инвестиции I; государственные расходы на закупку товаров и услуг G; чистый экспорт E. Y = C + I

В модели предполагается, что спрос на инвестиционные товары постоянен, а спрос на потребительские товары в будущем году есть линейная функция ВВП текущего года: СDt+1 = C + cYt, где c- нижняя граница фонда непроизводственного потребления; <c< 1 - предельная склонность к потреблению.

Динамическая модель Кейнса возникает, если приравнять планируемый выпуск товаров конечного пользования прогнозируемому спросу на них: YT+1=C+ cYt + I. (1)

Модель описывает изменение ВВП при следующих условиях:

1)Y(t) – ВВП в год от t состоит из производства потребительских товаров С(t) и производства инвестиционных товаров I(t)

Y(t)=C(t)+I(t) (1)

2)Y(t+1) – ВВП (производство) в год t+1определяется равным спросу в год t

(2)

3)спрос на потребительские товары в год линейно зависит от Y(t) – ВВП в год t. (3), где - минимальное потребление, с – склонность к потреблению (с<1)

4)спрос на инвестиционные товары, а следовательно и их производство постоянен по годам: (4)

39.Динамическая модель Кейнса в форме возвратного уравнения. Нахождение решения.В рассматриваемой модели роль переменной Y- (ВВП). ВВП состоит из четырех частей: фонд не производственного потребления C; валовые частные внутренние инвестиции I; государственные расходы на закупку товаров и услуг G; чистый экспорт E. Y = C + I.В модели предполагается, что спрос на инвестиционные товары постоянен, а спрос на потребительские товары в будущем году есть линейная функция ВВП текущего года: СDt+1 = C + cYt, где c- нижняя граница фонда непроизводственного потребления; <c< 1 - предельная склонность к потреблению.

Динамическая модель Кейнса возникает, если приравнять планируемый выпуск товаров конечного пользования прогнозируемому спросу на них: YT+1=C+ cYt + I. (1)

Подставляем (3) и (4) в (2) получаем или

(5) Имеем линейное неоднородное (возвратное) уравнение 1-го порядка с постоянными коэффициентами . Соответствующее ему однородное уравнение y(t+1) – cy(t)=0 описывает изменение приращения ВВП.

и имеет общее решение

Частное решение неоднородного уравнения (5) в общем случае имеет вид:

(6) Чтобы найти b(t) надо подставить (6) в (5). Однако, т.к. правая часть (5) - константа, проверим, не является ли z(t)=B частным решением, подставив его в (5). , т.е. - частное решение. Общее решение неоднородного уравнения (5) равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

Стационарное решение при :

. Учтем начальное условие (при t=0):

Система в модели Кейнса стремится к своему стационарному характеру.

40. Модель экономического цикла Самуэльсона—Хикса.МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЦИКЛА САМУЭЛЬСО-НА—ХИКСА — кейнсианская динамическая модель, вклю­чающая в себя только рынок благ, на котором представлены два экономических субъекта: домохозяйства и фирмы. До­пускается, что уровень цен и ставка процента постоянны. Объем потребления текущего периода определяется дохо­дом предшествующего периода:

Если под воздействием научно-технического прогресса автономные инвестиции увеличиваются, то, согласно прин­ципу мультипликатора, увеличиваются совокупный спрос и доход. Прирост дохода вызывает колебания индуцирован­ных (производных) инвестиций. Таким образом, эффект мультипликатора вызывает дей­ствие акселератора. В формализованном виде спрос домохозяйств можно представить: Поведение экономической системы зависит от а и С_у. По Хиксу, величины данных параметров таковы, что они мо гут вызвать колебания, а не взрывы, ибо наталкиваются на ограничители. Верхним ограничителем является уровень полной занятости. Нижним ограничителем выступает ве­личина амортизационных отчислений. - Итак, концепция Хикса основывается на двух главных элементах: 1) существование верхнего барьера, или «потолка», и нижнего барьера, или «пола», которые не позволяют совокупным процессам расширения и падения дохода продолжаться до бесконечности; 2) движение дохода в обратном направлении всякий раз, когда тот достигает «потолка» или «пола».

43 Балансовая модель Леонтьева. Условия и уравнения В. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США и период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины aij = xij / xj меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема xj есть технологическая константа.В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции j-й отрасли объема xj нужно использовать продукцию i-й отрасли объема aijxi, где aij — постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа аij называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности, имеем Тогда уравнения (16.2) можно переписать в виде системы уравнений

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

Тогда система уравнений (16.4) в матричной форме имеет видОбычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (16.5) это уравнение носит название модели Леонтьева.Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска  , требуется рассчитать вектор конечного потребления   — подобная задача была рассмотрена выше (п. 16.1, пример 5).Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода времени T (например, год) известен вектор конечного потребления   и требуется определить вектор   валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (16.6) с известной матрицей А и заданным вектором  . В дальнейшем мы будем иметь дело именно с такой задачей.

Между тем система (16.6) имеет ряд особенностей, вытекающих из прикладного характера данной задачи; прежде всего все элементы матрицы А и векторов    и   должны быть неотрицательными.

44 Балансовая модель Леонтьева. Условия продуктивности. Нахождение решения.Продуктивные модели ЛеонтьеваМатрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора   с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (16.6) — вектор  , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

ТЕОРЕМА. Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора  с неотрицательными компонентами уравнение имеет решение  с неотрицательными компонентами, то матрица А продуктивна.Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы хотя бы для одного положительного вектора  , чтобы матрица А была продуктивной. Перепишем систему (16.6) с использованием единичной матрицы Е в виде .Если существует обратная матрица (E - А)-1 , то существует и единственное решение уравнения .Матрица (Е — А)-1 называется матрицей полных затрат.Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Приведем два из них. Первый критерий продуктивности. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)-1 существует и ее элементы неотрицательны.Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы: причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.