25. Решение уравнений импульсного процесса. Виды устойчивости импульсного процесса.

Устойчивость импульсных процессов подразделяется на два типа: импульсная и абсолютная. Взвешенный орграф называется импульсно устойчивым, если для каждой его вершины последовательность  ограничена, т.е. найдется такое положительное число P_j (S), что | P_j (S) |  P_j для всех S = 0, 1, 2 …. . Взвешенный орграф называется абсолютно устойчивым, если для каждой его вершины последовательность  ограничена, т.е. найдется такое положительное число V_j (S), что | V_j (S)|  V_j для всех S = 0, 1, 2 …. . Применительно к равновесию орграфа также можно говорить о двух типах равновесия. Взвешенный граф находится в состоянии импульсного равновесия, если P_j (S) = P_j для всех j  J и S = S’, S’+1, S’+2, ….  Взвешенный граф находится в состоянии абсолютного равновесия, если V_j (S) = V_j для всех j  J и S = S’, S’+1, S’+2, ….  Примеры импульсных и абсолютных устойчивости и равновесия приведены на рис. 7. а)орграф импульсно и абсолютно неустойчив; б) орграф импульсно устойчив, но абсолютной устойчивости нет; в) орграф устойчив как импульсно, так и абсолютно, однако ни импульсное ни абсолютное равновесие на отрезке S ….  не достигнуто; г) импульсное ни абсолютное равновесие достигнуто на отрезке S’ ….  

26. Основные понятия дифференциальных уравнений.

Дифференциальными называются уравнения, в которых искомыми являются функции одной или нескольких переменных, причем в эти уравнения входят как сами искомые функции, так и их производные (дифференциалы).

Порядок старшей из производных или старшего из дифференциала искомой функции называется порядком дифференциального уравнения.

Если искомая функция зависит от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.

Если искомая функция зависит от нескольких переменных и уравнение содержит частные производные, то оно называется уравнением в частных производных.Дифференциальное уравнение n-ого порядка в общем случае имеет вид:F(x, yn, yn-1, … y’, y)=0

Обыкновенное дифференциальное уравнение относительно переменной t (время) можно записать в виде:

G(t, y, y',...,y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

где G — некоторая функция от n+2 переменных (n больше или равно 1)

Наибольший порядок n производной, входящей в уравнение называется порядком дифференциального уравнения.

Например: уравнение 1-го порядка : y-y'-t=0

Решением дифференциального уравнения n-ого порядка называется функция f(x), имеющая на некотором интервале (a,b) производные до порядка n включительно, которая будучи представлена в уравнение обращает его в тождество F(x,f(x), f’(x), … fn(x))=0

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C1, C2, …, Сn.

Постоянные C1, C2, …, Cn могут находиться из дополнительных условий. Например начальных условий для момента времени t=0

Пример дифференциально уравнения:

1. 2) 3) 4) 5)

6)

7) Найдем общее решение: Когда в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу целесообразно записать тоже под логарифмом. вместо записи   обычно пишут  .

8) используя свойство логарифмов получаем

9) функция представлена в явном виде => общее решение найдено.

27. Дифференциальные уравнения первого порядка. Условие существования и единственности решения. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной, имеет вид    Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется функция  , подстановка которой в уравнение обращает его в тождество:

.

График решения   называется интегральной кривой.

Задача Коши для дифференциального уравнения (8.1) состоит в том, чтобы найти решение уравнения (8.1), удовлетворяющее начальному условию   Пару чисел   называют начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением дифференциального уравнения при условии

Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку  . Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция   − правая часть дифференциального уравнения – непрерывна вместе со своей частной производной   в некоторой области   на плоскости. Тогда при любых начальных данных   задача Коши, имеет единственное решение  .

При выполнении условий теоремы через точку  на плоскости проходит единственная интегральная кривая. Будем считать, что условия теоремы существования и единственности выполняются.

Численное решение задачи Коши состоит в том, чтобы получить искомое решение   в виде таблицы его приближённых значений для заданных значений аргумента   на некотором отрезке  :

                                                 

27. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Для дифференциального уравнения первого порядка   (1)существует достаточно много методов решений. Выбор каждого метода зависит от вида уравнения, при этом общего метода для решения всех уравнений первого порядка не существует. Если уравнение можно записать в виде, разрешенном относительно производной  , (2)то выбор способа решения определить несколько проще, чем для уравнения (1).Рассмотрим некоторые частные виды дифференциальных уравнений первого порядка. К простейшему типу дифференциальных уравнений первого порядка относятся уравнения с разделяющимися переменными. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка вида (2), причем правая часть этого уравнения представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: либо от переменной  , либо от переменной     (3). При этом возможен случай, когда какая-то одна из функций   и   или обе – константы.Запишем производную в виде    и домножим обе части уравнения (3) на  , получим

 

Следующим шагом попытаемся разделить переменные, то есть сделать так, чтобы каждая часть уравнения содержала бы функции и дифференциалы одной и той же переменной. Этого можно достичь путем деления обеих частей уравнения на  :   (4)

Данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, которое можно проинтегрировать, получив тем самым общее решение (общий интеграл) уравнения (3)