Билет№1.7

Арифметические операции с переменными, имеющими конечный придел.

1. ; ;

Док: x_n=a+α_n; y_n=b+β_n; x_n+y_n=a+b+α_n+β_n=(a+b)+γ_n =>

2. ; ;

Док:

X_n=a+α_n; y_n=b+β_n; x_ny_n=(a+α_n)(b+β_n)=ab+α_nb+β_na+α_nβ_n=ab+γ_n => .

3. ; ; b≠0;

Док: lim(n→)(x_n/y_n)=a/b

y_n≠0; b>0; ε>0; N(ε); n>N; y_n>0; x_n=a+α_n; y_n=b+β_n; x_n/y_n-a/b=(a+α_n)/(b+β_n)-a/b=(ab+α_nb-ab-β_na)/b(b+β_n)= γ_n/(b²+β_nb)=γ_n/b² → 0; a/b →0 => lim(n→)(x_n/y_n)=a/b

Б.м. и б.б. ф-ии:

Опр: f(x) назыв. б.м. в т. x=a если lim(x→a)f(x)=0

(x-a)^m=P_m(x) – многочлен m-ой степени относительно x. aєR  lim(x→a)P_m(x)=P_m(a). Аналогично покажем, что для некоторой алгебраической дроби:  lim(x→a)Q_m(x)/R_m(x)= Q_m(a)/R_m(a).

(x-a)^m – б.м. ф-ия → lim(x→a)(x-a)^m = lim(x→a)P_m(x)=P_m(a)=0 – б.м. величина. (x-a)^m, m-порядок бесконечно малой.

Опр. f(x) – б.б. в т. х=а справа (слева), если {x_n}→a(n→), x_n>a (x_n<a). {f(x_n)} – б.б. опред. знака. Lim(x→a+0)f(x)=+ (Lim(x→a+0)f(x)=- ) или Lim(x→a-0)f(x)=+ (Lim(x→a-0)f(x)=- ).

Спец. Представление:

Если  lim(x→a)f(x)=b; f(x)-b=α(x); α(x)→0(x→a) – б.м. f(x)=b+α(x), где α(x) – б.м. при x→a.

Билет№1.10

Основные ф-ии: 1. y=x^a aєR. 2. y=a^x a>0. 3. y=log_ax. 4. y=sinx; cosx; tgx; ctgx. 5. y=arcsinx; arccosx; arctgx; arcctgx.

Элем. ф-ии – это такие ф-ии, которые получаются путём применения конечного числа арифметич. операций или суперпозиций к основным ф-ям. Напр: y=e^sin2x+3xlog_ax²

Непрерывность тригонометрич. ф-ий:

0<sinx<x<tgx; 0<x<π/2; x – радиан.

Рассм. ΔAOB, сектор OAB, ΔOCB.

Площади: ΔAOB<сек. OAB<ΔOCB

0<1/2*1*sinx<1/2*1²*x<1/2*1*tgx | *2

0<sinx<x<tgx

Непр. ф-ии y=sinx

В т. x=0 а) справа: {x_n}→0(n→); x_n>0;

0<sinx_n<x_n | lim(x→); 0→0; x_n→0 => lim(x→)sinx_n=0=sin(0);

б) слева: {x_n}→0(n→); x_n>0; 0>sinx_n>x_n | lim(x→); 0→0; x_n→0 => lim(n→)sinx_n=0=sin(0); lim(n→)sinx_n=0 => lim(x→0)sinx=0

В произв. точке: xєR, фиксируем какую нить т. xєR. {x_n}→x при n→; lim(n→)(sinx_n-sinx)=lim(n→)(2*cos((x_n+x)/2)(-огранич)*sin((x_n-x)/2)(→0))=0.

Непр. ф-ии y=cosx

xєR, {x_n}→x(n→); lim(n→)(cosx_n-cosx)=lim(n→)((-2) *sin((x_n+x)/2)(-огранич)*sin((x_n-x)/2)(-б.м.))=0; lim(x→)cosx_n=cosx..

Непрер. Ф-ий tg, ctg, sec, cosec, выводится на основании теорем о орифметич операциях над ф-ми.

Билет№1.14

Определение Гейне:

Число b назыв. приделом ф-ии f(x) в точке x₀, если для любой послед. {x_n}, x_nє(α;β), x_n≠a, сходящейся к x₀, последовательность {f(x_n)} сходится к b.

Определение Коши:

Число b называется приделом ф-ии f(x) в точке a, если (ε>0)(δ=δ(ε)>0)(x удовл. условию: 0<|x-x₀|<δ): |f(x)-b|<ε

Оба определения равносильны.

Д-во: lim(x→a)f(x)=b (ε>0)(δ=δ(ε)>0)(x удовл. условию: 0<|x-x₀|<δ): |f(x)-a|<ε; Рассмотрим {x_n}→a(n→); x_n≠a; раз она сходится к a, то для (δ(ε))(N=N(δ(ε)))(n≥N): 0<|x_n-a|<δ(ε); для таких x_n, по опред. Коши |f(x_n)-b|<ε. {x_n}→a(n→); x_n≠a; {f(x_n)}→b(n→); получим опред. Гейне.

Наоборот: Дано опред. по Гейне, покажем что  опред. Коши.

(от противного). (ε>0)(δ=δ(ε))(xє{x}) : (0<|x-a|<δ) : |f(x)-b|≥ε. Пусть δ=1/n, при n=1, x₁ : (0<|x₁-a|<1) : |f(x₁)-b|≥ε; при n=2 x₂ : (0<|x₂-a|<1/2) : |f(x₂)-b|≥ε; …; при n=k x_k : (0<|x_k-a|<1/k) : |f(x_k)-b|≥ε; … Получим {x_n}→a(n→); {f(x_n)} не→b(n→) – не выполнено опред. по Гейне => опред. эквивалентны.

Билет№1.15

Предел на бесконечности:

Число a называется пределом ф-ии f(x) при x→, если (ε>0)( δ=δ(ε)>0)(xє{x} : |x|>δ) : |f(x)-a|<ε.

Односторонние пределы:

Пусть область определения функции f(x) содержит интервал (α; x₀). Число а называется пределом слева функции f(x) в точке x0, если (ε>0)(δ=δ(ε)>0)(xє{x} : x₀-δ<x<x₀) : |f(x)-a|<ε.

Аналогично, в случае, когда область определения функции f(x) содержит интервал (x0;β), вводится понятие предела справа. Функция f(x) имеет предел в точке х₀ тогда и только тогда, когда существуют предел слева и предел справа и они равны.

Число а называют пределом функции f(x) при x→+, если для каждого числа ε>0 существует такое число δ> 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству х > δ, вы­полняется неравенство |f(x) - а|<ε.

Непрерывность: Ф-ия f, определённая в окрестности т. x₀, непрерывна в этой точке, если (ε>0)(δ=δ(ε)>0)(xє{x} : |x-x₀|<δ): |f(x)-f(x₀)|<ε.

Билет№1.16

 lim(x→a)f(x)=b, тогда и только тогда, если (ε>0)(δ=δ(ε)>0)(x ’,x ’’є{x} : 0<|x ’-a|<δ; 0<|x ’’-a|<δ): |f(x ’)-f(x ’’)|<ε.

Док-во: Необходимость: Пусть  lim(x→a)f(x)=b, показать что вып. условие Коши.

(ε/2>0)(δ₁=δ₁(ε))(x ’є{x} : 0<|x ’-a|<δ₁): |f(x ’)-b|<ε/2. (δ₂=δ₂(ε))(x ’’є{x} : 0<|x ’’-a|<δ₂): |f(x ’’)-b|<ε/2. δ=max(δ₁,δ₂) выпол. услов. для x ‘ и x ‘’. Рассмотрим |f(x ‘)-f(x ‘’)|=|f(x ‘)-b+b-f(x ‘’)≤|f(x ‘)-b|+|f(x ‘’)-b|<ε/2+ε/2=ε. Вып. усл. Коши.

Достаточность: Дано: усл. Коши. Показать:  lim(x→a)f(x)=b

(ε>0)(δ=δ(ε)>0)(x ’,x ’’є{x} : 0<|x ’-a|<δ; 0<|x ’’-a|<δ): |f(x ’)-f(x ’’)|<ε.

Покажем что предел ф-ии сущ., а затем покажем, что он будет единственный для любой послед. аргумента сходящ. к a.

{x_n}→a(n→) (δ(ε))(N=N(δ(ε)))(n≥N) : |x_n-a|<δ(ε).

|x_n+p-a|<δ(ε), где p – целое, положит.

По условию Коши, для значений ф-ии будет выполнено: |f(x_n)-f(x_n+p)|<ε – послед. значений ф-ии – фундаментальна => сходится. {f(x_n)} – сходится.

Покажем, что предел будет единственным: (от противного). Допустим, что для посл. аргумента {x_n’}→a(n→) {f(x_n’)}→b’(n→); {x_n’’}→a(n→) {f(x_n’’)}→b’’(n→); b’≠b’’. Сост. посл. аргументов вида: x₁’,x₁’’,x₂’,x₂’’,…,x_n’,x_n’’…; Новая посл. →a(n→) т.к. любая посл. →a(n→). f(x₁’),f(x₁’’),f(x₂’),f(x₂’’),…,f(x_n’),f(x_n’’),…

Посл. знач. ф-ии тоже будет →b(n→) => любая посл. знач. ф-ии тоже должна →b(n→). Противоречие доказывает теорему.

Билет№1.17

f(x) ограничена на {x}, xє{x}  m, M єR : m≤f(x)≤M. Ф-ия ограничена сверху и снизу.

Опр М=supf(x) на {x},если xє{x}: f(x)≤M. (ε>0)(x_εє{x}): f(x_ε)≥M-ε

Опр m=inff(x) на {x},если xє{x}: f(x)≥m. (ε>0)(x_εє{x}): f(x_ε)≤m+ε

Т. Если для f(x)  lim(x→a)f(x)=b, то  U_δ(a), где f(x) ограничена.

Д-во: т.к.  lim(x→a)f(x)=b => что (ε>0)(δ=δ(ε)>0)(xє{x} : 0<x-a<δ): |f(x)-b|<ε. b-ε(→m)<f(x)<b+ε(→M), для x≠a ограниченность доказана. Для x=a в качестве M=max(b+ε,f(a)}; m=min{b-ε,f(a)}, тоже будет ограниченность.

Знакопостоянство:

Т. Если f(x) непрерывна в т. x=a, при f(a)≠0, то  U_δ(a), где f(x) сохраняет знак, тот же, что и f(a).

Д-во: т.к. f(x) непр. в т. x=a, то (ε>0)(δ=δ(ε)>0)(xє{x} : |x-a|<δ): |f(x)-f(a)|<ε. f(a)-ε<f(x)<f(a)+ε. Если ε<|f(a)|, то такая U_δ(a) найдётся.

1.f(a)>0; f(a)-|f(a)|<f(x)-ε<f(x); f(a)-f(a)<f(a)-ε<f(x); 0<f(a)-ε<f(x); f(x)>0; f(a)>0.

2.f(a)<0; f(x)<f(a)+ε<f(a)+|f(a)|; f(x)<f(a)+ε<f(a)-f(a); f(x)<f(a)+ε<0; f(x)<0; f(a)<0.

Билет№1.22

Пусть f(x) опред. на отрезке [a;b], принимает значения на отрезке [α;β], тогда:

Опр: Если yє[α;β] по опред. правилу или закону поставить в соответствие единственное значение xє[a;b], то для y=f(x) определена обратная ф-ия x=f^-1(y). Такое возможно только в том случаи, если y=f(x) строго монотонна.

Другими словами: y=f(x) обратима если y₀є[α;β] ур-е f(x)=y₀ имеет единственный корень.

Опр.: Если x=f^-1(y) обратная для y=f(x), а y=f(x) обратная для x=f^-1(y), то y=f(x) и x=f^-1(y) – взаимно обратные ф-ии.

Лемма: Для того чтобы строго монотонная ф-ия f(x) на отрезке [a;b] была непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы любое γ находящееся между α=f(a) и β=f(b) являлась значением f(x).

Д-во: Необходимость: f(x)- непр. на [a;b]. Показать: γ между α и β γ=f(ξ). По 2-й теореме Больциано-Коши. (Билет 1.19)

Достаточность: γ между α и β γ=f(ξ). Показать: f(x)- непр. на [a;b]

Пусть f(x)- возраст. Пусть γ между α и β, это есть значение ф-ии в некоторой т. с. Покажем, что ф-ия непрерывна в т. с. Для этого покажем что существ. Прав. и лев. Limf(x) в этой точке и они = γ

Для левого: (ε>0)(γ-ε)(dє[a;b] : f(d)=γ-ε) т.к. f(x) строго монотонна (возрастает) => γ-ε<γ => f(d)<f(c) =d<c.

{x_n}→c(n→), x_n<c, n≥N, d<x_n<c; f(d)<f(x_n)<f(c) (т.к. монотонна) γ-ε<f(x_n)< γ; -ε<f(x_n)-γ<0; 0<γ-f(x_n)<ε => в силу произвольности {x_n}→c(n→) =>  lim(x→c-0)f(x)=γ.

Аналогично доказывается существование предела справа => f(x) непрер. в т. с. В силу произвольности γ и => с, можно сказать, что ф-ия непрер. во всех точках.

Следствие: Если y=f(x) строго монотонна и непрерывна на [α;β], где α=f(a), β=f(b), то для неё на отрезке [α;β] существует обратная ф-ия x=f^-1(y) тоже строго монотонная и непрерывная.

Билет№3.34

Рассмотрим тело образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью Ox и прямыми x=a, x=b. В этом случаи произвольное сечение тела плоскостью, ┴ к оси абсцисс, есть круг, площадь которого Q=πy²=π(f(x))². Применяя общую формулу для выч. объёма (v=^b∫_aQ(x)dx.) получим формулу для вычисления объёма тела вращения: v=π^b∫_ay²dx=π^b∫_a(f(x))²dx.

Билет№3.32

Если на отрезке [a;b] f(x)≥0, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b равна Q=^b∫_af(x)dx. Если f(x)≤0 на [a;b], то опред. инт. ≤0, по абсолютной величине он равен площади Q соответств. криволинейной трапеции. Если f(x) конечное число раз меняет знак на [a;b], то интеграл по всему отрезку разбивают на сумму интегралов по частичным отрезкам. Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно найти сумму абсолютных величин интегралов, или вычислить интеграл: Q= ^b∫_a|f(x)|dx.

Кривая задана в параметрической форме: x=φ(t), y=ψ(t) (1). Где α≤t≤β и φ(α)=а, φ(β)=b. Пусть ур-я (1) определяют некоторую функцию y=f(x) на [a;b] и => площадь криволин. Трапеции может быть вычислена по формуле: Q= ^b∫_af(x)dx= ^b∫_aydx.

Сделаем замену переменного в этом итнеграле: х=φ(t), dx=φ’(t)dt. На основании у-я (1) получим: y=f(x)=f(φ(t))=ψ(t) => Q= ^b∫_aψ(t)φ’(t)dt..

Выч. площади криволинейного сектора в полярных координатах:

Имеем кривую заданную ур-ем. ρ=f(θ), где f(θ) – непрерывная ф-ия при α≤θ≤β. Определим площадь сектора OAB, ограниченную кривой ρ=f(θ) и радиус-векторами θ=α и θ=β.

Разобьём данную область радиус-векторами α=θ₀, θ= θ₁,…, θ_n=β на n частей. Обозначим через ∆θ₁, ∆θ₂,…,∆θ_n углы между проведёнными радиус векторами. Обозначим через ρ_i длину радиус-вектора, соответствующего какому ни будь углу θ_i заключённому между θ_i-1 и θ_i. Рассмотрим круговой сектор с радиусом ρ_i и центральным углом ∆θ_i. Его площадь равна: ∆Q_i=1/2 ρ_i²∆θ_i. Сумма: Q_n=1/2∑_i=1ρ_i²∆θ_i=1/2∑_i=1(f(θ_i))²∆θ_i, даст площадь ступенчатого сектора. Т.к. эта сумма является интегральной суммой для ф-ии ρ²=(f(θ))² на отрезке α≤θ≤β, то ее предел при max∆θ_i→0 есть опред. инт.: 1/2^β∫_αρ²dθ. Таким образом площадь сектора OAB равна: Q=1/2^β∫_αρ²dθ=1/2^β∫_α(f(θ))²dθ.

Билет№3.29

Ф-ла: s=^b∫_a(1+(f’(x))²)^1/2dx.

Вывод: Длиной дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длинна её наибольшего звена стремится к 0. S=lim(max∆s_i→0)∑_i=1∆s_i.

Введём обозначение: ∆y_i=f(x_i)-f(x_i-1). Тогда ∆s_i=((∆x_i)²+(∆y_i)²)^1/2=(1+(∆y_i/∆x_i)²)^1/2∆x_i. По теореме Лагранжа имеем: ∆y_i/∆x_i=(f(x_i)-f(x_i-1))/(x_i-x_i-1)=f’(ξ_i), где x_i-1<ξ_i<x_i. => ∆s_i=(1+(f’(ξ_i))²)^1/2∆x_i. Таким образом длинна вписанной ломаной равна: S_n=∑_i=1(1+(f’(ξ_i))²)^1/2∆x_i. По условию, f’(x) непрерывна => ф-ия (1+(f’(ξ_i))²)^1/2 тоже непрерывна. =>  S=lim(max∆x_i→0)∑_i=1 (1+(f’(ξ_i))²)^1/2∆x_i=^b∫_a(1+(f’(x))²)^1/2dx= ^b∫_a(1+(dy/dx)²)^1/2dx (1)

Параметрически: s=^β∫_α((φ’(t))²+(ψ’(t))²)^1/2dt.

Вывод: x=φ(t), y=ψ(t) (2) (α≤t≤β), где φ(t) и ψ(t) – непрерывные ф-ии с непрерывными производными, причём φ’(t) на заданном участке ≠0. В этом случаи ур-е (2) определяет некоторую ф-ию y=f(x), непрерывную и имеющую непрерывную производную. dy/dx=ψ’(t)/φ’(t). Пусть a=φ(α), b=φ(β). Тогда, сделав в интеграле (1) подстановку x=φ(t), dx=φ’(t)dt, получим: s= ^β∫_α(1+(ψ’(t)/φ’(t))²)^1/2φ’(t)dt или s=^β∫_α((φ’(t))²+(ψ’(t))²)^1/2dt.

В полярных координатах: s=^θ∫_θ1(ρ’²+ρ²)^1/2dθ.

Вывод: ρ=f(θ) (3), где ρ – полярный радиус, θ – полярный угол.

Напишем ф-лы перехода от полярных координат к декартовым: x=ρcosθ, y=ρsinθ. Если сюда вместо ρ подставим его выражение (3) через θ, то получим ур-я x=f(θ)cosθ, y=f(θ)sinθ. Эти ур-я можно рассматривать как параметрические ур-я кривой и для вычисления длины дуги применить формулу (2). Для этого найдём производные от x и y по параметру θ: dx/dθ=f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ, dy/dθ=f’(θ)sinθ+f’(θ)cosθ. Тогда (dx/dθ)²+(dy/dθ)²=(f’(θ))²+(f(θ))²=ρ’²+ρ². => s=^θ∫_θ1(ρ’²+ρ²)^1/2dθ.

Билет№3.5

Некоторые интегралы от иррациональных функций можно вычислить методом рационализации подынтегральной функции. Этот метод заключается в отыскании такой подстановки , которая преобразует интеграл от иррациональной функции в интеграл от функции рациональной.

Интеграл вида: ∫R(x; ((ax+b)/(cx+d))^p1;….; ((ax+b)/(cx+d))^pn) dx,

где n€N, p₁,p₂,…p_n€ Q , a, b, c, d € R, ad-bc≠0, подстановкой (ax+b)/(cx+d)=t^m ; m – общий знаменатель рациональных чисел p₁,p₂,…p_n, приводится к интегралу от рациональной функции.

Билет№3.6

Интеграл вида: ∫R(x; )dx, a≠0, b²-4ac≠0 могут сведены к интегралам от рациональных функций подстановками Эйлера:

=±(a)^1/2x ± t, если a >0;

=± xt ± (c)^1/2, если c >0;

=±(x-x1)t,

=±(x-x2)t,

Где x1, x2 – различные действительные корни квадратного трёхчлена ax²+bx+c

Подстановки Эйлера часто приводят к громоздким выкладкам.

Билет№3.7

Интеграл вида:

∫x^m(axⁿ+b)^pdx, где а, b- действительные, m, n, p- рациональные числа, причём a≠0, b≠0, n≠0, p≠0 называются интегралами от дифференциального бинома. Эти интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в следующих трёх случаях:

1. p- целое число,

2. (m+1)/n- целое число,

3. (m+1)/n+р - целое число, В первом случае применяется подстановка x=t^N, Где N – общий знаменатель дробей m и n ; во втором и третьем случаях – соответственно подстановки axⁿ+b=t^s и a+bx^-n=t^s где s – знаменатель дроби p.

Билет№3.9

Пусть задан отрезок [a;b]. Через будем обозначать разбиение отрезка [a;b] такими точками x_k, к=0, 1, ….k_τ, что a=x₀<x₁<…<x_k<…<x_kτ=b.

Отрезки [x_i-1;x_i], i=1, 2, …k_τ , называются отрезками разбиения τ, а наибольшая из их длин – мелкостью |τ| разбиения τ:

Разбиение τ’ называют разбиением, вписанным в разбиение τ, τ’>τ или τ<τ’, если каждый отрезок разбиения τ’ содержится в некотором отрезке разбиения τ.

Пусть на отрезке [a;b] задана функция f, - некоторое разбиение этого отрезка, |τ|- его мелкость и ∆x_i=x_i-x_i-1.Зафиксируем произвольным образом точки [x_i-1;x_i] и составим сумму

Суммы этого вмда называются интегральными суммами (Римана) функции f.

Ф. наз.-ся интегрируемой (по Риману) на отрезке [a;b] , если существует конечный предел . Этот предел называется определённым интегралом функции f на отрезке [a;b] и обозначается .

Билет№3.13

Если f(x) монот. На [a;b] то она интегр. на [a;b].

Д-во: Пусть f(x) неубыв. xє[a;b] f(a)≤f(x)≤f(b). Если f(a)=f(b), то f(x)=const. Если f(a)≤f(b) фиксируем ε>0 ∆x_i<ε/(f(a)-f(b)) x=1,n, т.к. f(x) монотонна, неуб., то для  част. Интерв. [x_i-1;x_i]: f(x_i-1) — inf m_i; f(x_i) – sup M_i. S-s=∑ⁿ_i=1(M_i-m_i)∆x_i<ε/(f(b)-f(a))*(f(x_i)-f(a)+f(x₂)+…+f(b)-f(x_i-1))=ε/(f(b)-f(a))*(f(b)-f(a))=ε.

Инт. разрывных ф-ий:

т.х. покрыта интервалом, если она є интервалу.

Т. Если для  огр. на [a;b] ф-ии точки разрыва ф-ии можно покрыть конечным числом интервалов, общая длинна которых < (ε>0) то f(x) интегр. по [a;b].

Д-во: т.к. f(x) огр. на [a;b], то для неё  М – sup f(x), m – inf f(x) на [a;b]. Если f(a)≠f(b), фиксируем ε>0 покроем точки разрыва ф-ии конечным числом интервалов, общая длинна которых <ε/2(M-m), как только мы это сможем на [a;b] ост. Интерв. Непрер-ти. Т.к. ф-ия непр. то по следств. Из теоремы Кантора, её {x} можно разбить так, чтобы ω ф-ии на каждом интерв. Непр. = ω₁’<ε/2(b-a).

Рассмотрим S-s=∑’ω_i∆x_i+∑’’ω_i∆x_i, ∑’ – сумма по интервалам покрытия, точек разрыва. ∑’’ – сумма о интервалам покрытия непрерывностей.

∑’ω_i∆x_i<(M-m)∑’∆x_i<M-m; ε/2(M-m)=ε/2.

! ∑’ω_i∆x_i<ε/2, ∑’’ω_i∆x_i<ε(b-a)/2(b-a)=ε/2, т.е. S-s<ε => f(x) инегр. на [a;b].

Следствие: Если f(x) огран. На [a;b] и имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [a;b].

Д-во: Покроем каждую из точек разрыва интервалом длинной <ε/k, когда сумма длин этих интервалов <kε/k => <ε

Пример:

F(x)={ 1 при xє{1/2n; 1/(2n-1)}; -1 при xє{1/(2n+1); 1/2n}; 0 при x=0}

Покроем точки непрер. интервалом длинной ε/2 в ост. Части мы получим конечное число т. разрыва, их будет р инт. покроем каждый из них длинной <ε/2p, сумма длин инт. покр. Точки разрыва <ε/2+pε/p<ε.

Билет№2.29

Пусть f(x)>0 для любых Х принадлежащих {x}дифференцируема тогда ln(y) = ln(f(x))

(1/y)y’ = (ln(f(x)))’; y’ = (ln(f(x)))’y; y = (u(x))^(v(x)) u(x)>0 ln(y) = v(x)ln(u(x)); y’/y = v’(x)ln(u(x)) + v(x)(u’(x)/u(x)); y’ = u(x)^(v(x)) [v’(x)ln(u(x)) + v(x)(u’(x)/u(x))]

Производная степени функции с действ. Показывают

Y=x^α α є R; Ln(y)αln(x); y’/y = α(1/x); y’ = α(x)^(α - 1)

Билет№2.31

Y=f(x) Дифф. в точке x₀ /\y = dy

(/\y - dy)/(/\x) = 0(/\x)/(/\x)  0 б.м.

/\y = dy + 0(/\x)

/\y ≈ dy

Смысл этого в том, что /\y - сложная функция от /\x a dy линейная функции от /\x тогда

f(x₀ = /\x) ≈ f(x₀) + dy

f(x₀ +/\x) ≈ f(x₀) + f’(x₀)/\x

f(x)(1 +x)^(1/n) x=0 получим

(1 + /\x)^(1/n) ≈ 1 + (/\x/n)

f(x) = sinX x>0 sin(/\x) ≈ /\x

f(x) = e^n x=0 e^(/\x) ≈ 1 + /\x

f(x) = ln(1+x) x = 0 ln(1 +x) ≈ /\x

Билет№2.32

Пусть f(x) определена на [a,b] и дифференцируема на [a,b] т.е. существует f’(x) ≠ ∞ x€[a.b]Если f’(x) снова диф. На [a,b], то говорят, что существует f’’(x) т.о. f⁽ⁿ⁾(x) определена через f^(n-1)(x) т.е. рекуррентным способом, аналогично для дифференциала dⁿf(x) = d(d^n-1f(x))

Функция f(x) n-раз диф-а в точке x₀, если в этой точке существует fⁿ(x) ≠ ∞

Инвариантность.

1) y = f(x) x - независимая переменная.

d²(y) = d(d(y)) = d(f’(x)dx) = dxd(f’(x)) = dxf’’(x)dx = f’’(x)d(x²)

y = f(x) где x = «фи»(t)

f(x) дважды дифференцируема по t. D²y = d(dy) = d(f’(x)dx) = d(f’(x))dx + f’(x)d(dx) = f’’(x)dxdx + f’(x)d²x = f’’(x)dx² + f’(x)d²x

Второй дифференциал не инвареантен

Производная параметрической функции.

X = fi(t) t принадлежит [f₁;f₂]; y = fi(t)

Fi(t) и ψ(t) n раз и дифф-а, т.е. существует fi^n(t) и ψ^n(t) пусть для fi(t) существует f = fi^(-1)(x)  x = fi(t) строго монотонна  fi’(x) ≠ 0 из [f₁;f₂] подставим f в ψ(t)

Y = y(x)

Y’(x) = dy/dx = ψ’(t)dt/fi’(f)dt = ψ’(t)/fi’(f) = y’t/x’t

Y’’x = (d/dx)*(y’x) = (y’x)t/x’t

Y’’_x = (y_x^n-1)’/x’t

Билет №4.9

В случае ф-ии z=f(x,y) двух переменных условие диф-емости ∆z=A₁∆x+A₂∆y+α₁∆x+α₂∆y может быть иллюстрировано геом.

Касательная плоскость – плоскость π, проходящая через т. N₀ поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через т. N₀ и любую т. N₁ поверхности, стремится к нулю,(N₁ →N₀)

Д-тво Убедимся, что из усл. диф-сти ∆z=A₁∆x+ A₂∆y+α₁∆x+α₂∆y вытекает сущ-ие касат плоскости.

Пусть ∆x=x-x₀, ∆y=y-y₀, ∆z=z-z₀, (z₀=f(x₀,y₀) z=f(x,y) )

=> z-z₀ =A(x-x₀)+B(y-y₀)+α∆x+β∆y, где А и В – const, равные част. производн. ∂z/∂x и ∂z/∂y в т. М₀, α и β –б.м. при ∆x→0 и ∆y→0

Уравн Z-z₀ =A(x-x₀)+B(y-y₀) задает в Декартовой сист. корд. (x,y,Z) плоскость, походящ. через т. N₀(x0,y₀,z₀) и имеющую нормальн. вектор n={A,B,-1}

Плоскость π проходит через т. N₀ поверхности S.

Угол φ→π/2 между n и любой секущей N₀N₀, когда N₁ → N₀

Из услов. диф-сти => A(x-x₀)+B(x-x₀)-(z-z₀)=o(ρ)

|cosφ|≤|o(ρ)|/ =|o(ρ)|/ρ из этой формулы => lim ρ→0 cosφ=0, т.е. lim ρ→0 = π/2 чтд.

Таким образом, диф-емость ф-ии z=f(x,y) в т. М₀ с геом. точки зрения означает наличие касат плоскости к граф. ф-ии z=f(x,y) в т N₀.

Достаточное условие диф-сти ФНП Если ф-ия z=f(x₁…x_m) имеет частн. производные по всем арг. в некоторой окрестности т. M0(x₁^o,…,x_m^o), причем все эти частные производные непрерывны в самой т. M₀, то указанная ф-ия диф-ма в т.M₀.

Д-тво для ф-ии двух переем. Пусть обе частные производные f_x’ f_y’ сущ. в окрестн. т. M₀ и непрер. в этой т.. Дадим арг-там x y столь малые приращ ∆ x ∆y, чтобы т. M(x₀+∆x,y₀+∆y) не выходила за пределы указанной окрестности т. M₀. ∆z=[(f(x₀+∆x,y₀+∆y)-f(x₀,y₀+∆y)]+f(x₀,y₀+∆y)-f(x₀,y₀)]

Выражение [(f(x₀+∆x,y₀+∆y)-f(x₀,y₀+∆y)] можно рассм. как приращ. ф-ии f(x₀,y₀+∆y) одной переменной х на сегменте [x₀,y₀+∆y]