Билет№1.2

Посл. {X_n} назыв. б.б., если для любого А>0, найдётся номер N зависящий от А, что для всех номеров начиная с него будет выполняться нер-во |x_n|>A.

Любая б.б. послед. Не ограничена, но не любая не ограниченная послед. явл. б.б.

Посл. {α_n} назыв. б.м., если для любого ε>0, найдётся номер N зависящий от ε, что для всех номеров начиная с него будет выполняться нер-во |α_n|<ε.

Св-ва: 1. Если {α_n} и {β_n} б.м. послед. то и {α_n}+{β_n} – б.м. послед. Док-во: {α_n} – б.м. (для любого ε/2>0)(сущ. N₁=N₁(ε))(для всех n>N₁): |α_n|<ε/2. {β_n} – б.м. (для любого ε/2>0)(сущ. N₂=N₂(ε))(для всех n>N₂): |β_n|<ε/2. N=max{N₁;N₂} для всех номеров n≥N вып. Оба условия. Рассмотрим |α_n+β_n|≤|a_n|+|β_n|<ε/2+ε/2=ε

2. Если {α_n} и {β_n} б.м. послед. то и {α_n}-{β_n} – б.м. Док. Тоже самое.

3. Если {α_n}- б.м. то она ограничена. Док-во: {α_n}- б.м. (для любого ε>0)(сущ. N=N(ε))(для любого n>N): α_n<ε. Пусть А=max{ε,|x₁|,|x₂|,…,|x_n|}, тогда для любого n: x_n≤A.

4. Если {x_n} огранич. посл., а {α_n}-б.м. посл., то {x_n*α_n} – б.м. посл. Док-во: {x_n} огранич. посл., то (сущ. А>0)(для любого n): |x_n|≤A. {α_n}-б.м., то (для любого ε/A>0)(сущ. N=N(ε))(для любого n≥N): α_n<ε/A. Рассмотрим |x_n*α_n|=|x_n|*|α_n|<A*ε/A=ε.

5. Если {α_n}-б.м. и для всех n: α_n=const, то с=0. Док-во от противного: Пусть с≠0. Пусть ε=|c|/2 т.к. {α_n}-б.м., то для (любого ε=|c|/2)(сущ. N=N(ε))(для всех n≥N): |α_n|<|c|/2. т.к. α_n=c |c|<|c|/2 – полученное противоречие доказывает теорему.

6. Если {x_n}-б.б. посл., то начиная с любого n>N определена последовательность {1/x_n} которая явл. б.м. посл.

Если {α_n}-б.м. посл. при этом α_n≠0 при любых n, то определена {1/α_n}-б.б. посл. Док-во: {x_n}-б.б. Сущ. такой номер N* начиная с которого x_n≠0, => определена посл. {1/x_n}. т.к. {x_n}-б.б. посл., то возьмём А=1/ε, тогда начиная с номера N* сущ. N≥N*, что для любых n≥N: |x_n|>A. |x_n|>1/ε => |1/x_n|<ε => {1/x_n}-б.м.

Билет№1.3

1 Опр. {x_n} – сход., если  такое a, что {x_n-a} – б.м. посл. а- придел послед. Обозначение: {x_n}->a (n->) или lim(n->)x_n=a

Б.б. посл. иногда называется сходящейся к бесконечности (lim(n→)x_n=±)

2 Опр. {x_n} сход. к а, если (ε>0)(N=N(ε))(n≥N) : |x_n-a|<ε

3 Опр. {x_n} сход. к а, если все члены послед. начиная с некоторого номера принадлежат любой окрестности т. а.

Конечное число членов послед. не влияет на ёе сходимость.

Из 1-го опред: {x_n}→a, если {x_n-a} – б.м. x_n-a=α_n; α_n→0(n→); {α_n} – б.м.; x_n=a+ α_n, где α_n→0(n→).

Св-ва сход. послед.: Теорема «Об единственности пределов»

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, аb. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»

Пусть посл-ть {xn}а  >о N:n>Nxn-a< эквивалентна а-<xn<a+ n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенствуxn c = max {a-,a+,xn,…,xn-1}

Теорема «Об арифметических дейсьвиях»

Пусть посл-ть {xn}a,{yn}b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:

а) предел lim(n)(xnyn)=ab

б) предел lim(n)(xnyn)=ab

в) предел lim(n)(xn/yn)=a/b, b0

Док-во: а)xnyn=(а+n)(b+n)=(ab)+(nn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный ab. Аналогично др. св-ва.

б) xnyn=(а+n)(b+n)=ab+nb+an+nn

nb – это произведение const на б/м

аn0, nn0, как произведение б/м.

=> поэтому в правой части стоит сумма числа аb+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xnyn сводится к ab

Билет№1.4

Придельный переход в неравенстве. Подпоследовательности.

Теорема 1: Пусть для всех номеров x_n<y_n, тогда

Пусть , тогда

и , то a≥b.

a>c>b; ε>0; N₁(ε); n>N₁ => x_n>c;

N₂(ε); n>N₂; y_n<c => x_n>y_n – противоречит условию теоремы => предположение неверно, тогда

Теорема 2: (Теорема о двух полисменах) Пусть для всех значений n выполняется неравенство x_n<y_n<z_n и переменная x и z имеют общие приделы. , тогда : ε>0; N₁(ε); n>N₁; |x_n-a|<ε; a-ε<x<a+ε; N₂(ε); n>N₂; |z_n-a|<ε т.е. a-ε<z<a+ε; a-ε<x_n<y_n<z_n<a+ε; => a-ε<y_n<a+ε; =>

Подпоследовательности. Пусть {x_n} некая числ. послед., а {k_n} – возр. числ. посл. целых, положит. чисел, выбираем из {x_n} члены послед. с номерами {k_n} и расположим их в порядке возрастания {k_n}-х, получим {x_kn} – послед. данной последовательности.

Прямая теорема: Если {x_n}->a при n->∞, любаяо {x_kn} сх-ся к a. Док-во: т.к. {x_n}->a при n->∞, то (для любого ε>0)(сущ. N=N(ε)) (для любого n≥N): |x_n-a|<ε. Т.к. K_N≥N, то (для любого K_n≥K_N): |x_kn-a|<ε.

Обратная теорема: Если для любых {x_kn} послед {x_n} сходится, то приделы у них будут общими в частности {x_n} при n->∞ к этому пределу. Док-во: т.к. {x_n} явл. одновременно и подпосл. самой себя то по условию теоремы она сходится. Пусть {x_n}->a при n->∞ , тогда из прямой теоремы => что и всякая другая подпосл. сходится к а.

Билет№1.18

1 Теорема Больцано-Коши

Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то  т-ка с(a,b),в которой ф-ия обращается в0.

Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.

Пусть f(d)0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой  окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.

Билет№1.19

Вторая теорема Больцано-Коши.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a;b] и на концах его принимает неравные значения. A=f(a)≠f(b)=B тогда каково бы не было число С заключённое между А и В, найдётся такая точка х₀ в которой значение функции будет равно С. Х₀є[a;b]; A<C<B; y₁=f(x)-c; y₁(a)=f(a)-c=A-c<0; y₂(b0=f(b)-c=B-c>0; x₀; y₁(x₀)=0; y₁(x₀)=f(x₀)-c=0; f(x₀)=c.

Билет№1.20

Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е.  с>0:f(x)c x(a,b).

Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x) неогр.

Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки

Билет№1.21

Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е.  т-ка max X*:f(x*)f(x) x[a,b], т-ка min X_:f(x_)f(x) x[a,b].

Док-во.Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при х[a,b])=M(<). InfE(f)= inff(x)=m(m>-). Для опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е.  х*:f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не  и сл-но f(x)<M x[a,b] рассмотрим вспомогат. ф-цию g(x)=1/(M-f(x) при х[a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0 согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е.  c>0

!0<g(x)c g0, на [a,b] – 1/(M-f(x))c => 1c(M-f(x)) => f(x) M-1/c x[a,b]

Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой части стоит “C”

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки

Билет№1.13

Точки, в которых ф-ия не является непрерывной, называются точками разрыва ф-ии.

Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода.

а) если в т-ке х0  оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но  f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.

Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.

б) если в т-ке х0  оба 1-стороних предела f(x0), которые не равны между собой f(x0+)f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.

в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не  или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

Билет№1.12

lim(n)(1+1/n)^n=e Док-во:

x+ n x:n=[x] => nx<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n

Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n(1+1/n)^x (1+1/n)^(n+1) (4)

Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х+, n)

lim(n)(1+1/(n+1))=lim(n)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n)(1+1/(n+1))^n+1lim(n)1/(1+1/(n+1))=e

lim(n)(1+1/n)^n+1= lim(n)(1+1/n)^n lim(n)(1+1/n)=e1=e

Билет№1.9

Опр1.Ф-ия у=f(x) н-ся непрерывной в т.Х0, если lim(x->x0) (f(x))=f(x0)

Опр2.Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т Х0, если для любой пос-ти значений аргумента Х: х1,х2,х3….,хn,…. Сходящейся к Х0 соответствующая пос-ть значений ф-ии: f(x1), f(x2),f(x3),....,f(xn),... сходится к числу f(x0), т.е. ({xn}->x0, xn€X):{f(xn)}->f(x0)

Опр3. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т. Х0, если для любого ε>0 найдется отвечающее ему положительное число δ такое что для всех х, удовлетворяющих условию |x-x0|< δ выполняется нер-во |f(x)-f(x0)|< ε

Опр4. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при ▲x->0, т.е. lim(▲x->0)( ▲y)=0

Арифметические операции с переменными, имеющими конечный придел.

1. ; ;

Док:

x_n=a+α_n; y_n=b+β_n; x_n+y_n=a+b+α_n+β_n=(a+b)+γ_n =>

2. ; ;

Док:

X_n=a+α_n; y_n=b+β_n; x_ny_n=(a+α_n)(b+β_n)=ab+α_nb+β_na+α_nβ_n=ab+γ_n => .

3. ; ; b≠0;

Док:

y_n≠0; b>0; ε>0; N(ε); n>N; y_n>0; x_n=a+α_n; y_n=b+β_n; x_n/y_n-a/b=(a+α_n)/(b+β_n)-a/b=(ab+α_nb-ab-β_na)/b(b+β_n)= γ_n/(b²+β_nb)=γ_n/b² → 0; a/b →0 =>

Билет№1.8

Сравнение бесконечно малых величин, понятие эквивалентности.

1. Бесконечно малое β и α называются величинами одинакового порядка малости, если предел их отношения равен конечной величине не равной нулю.

;

2. Бесконечно малая β называется величиной высшего порядка малости, если предел отношения α/β=0.

;α=1/x; β=1/x при x→∞;

3. Бесконечно малая β называется величиной катого порядка малости по отношения к бесконечно малой α, если например:

4. Бесконечно малые α и β называются эквивалентными, если их разность есть величина бесконечно малая, величина более высокого порядка малости чем α и β. α~β; α-β=γ; ; ; .

Сравнение б.б.

Пусть A(x) и B(x) – это б.б. справа от некоторой точки а.

1) Если lim(x->a+0)(A(x)/B(x))=+ . A(x) – б.б. имеющая больший порядок роста чем B(x)

2) Если lim(x->a+0)(A(x)/B(x))=с, с=const≠0, с< (конечная) A(x) и B(x) – одного порядка роста.

Билет№2.34

Теорема Ролля.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и имеет конечную производную, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b) и на концах промежутка имеет равные значения, т.е. f(a)=f(b), тогда найдётся такая внутренняя точка x₀є(a;b) в которой производна функции равна 0. f’(x₀)=0; [a;b]; m; M; m=inff(x); M=supf(x); По теореме Вейерштрасса. 1) Пусть m=M; f(x)=const; f’(x)=0; в любой внутренней точке промежутка (a;b); 2) Пусть m≠M => mє(a;b) или Mє(a;b); или оба вместе в точке x₀ наибольшее или наименьшее значение; по теореме Ферма f’(x₀)=0; f(x₀)=m или f(x₀)=M;

Теорема Лагранжа. Теорема о конечном приращении.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и имеет конечную производную, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b), тогда найдётся такая внутренняя точка x₀є(a;b), в которой выполняется равенство: (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(x₀). L₂||L₁; y₁=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a); проверим удовлетворяет ли функция теореме Рола. 1) [a;b] непрерывность в замкнутом промежутке. 2) Существование производной в (a;b) y’=f’(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*1}-производная x. 3) На концах значения функции равны. Найдём y₁(a)=f(a)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=0; y₁(b)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)-f(a)-f(b)+f(a)=0 => y₁(a)=y₁(b). Найдётся такая точка x₀ в которой y’(x₀)=0; f’(x₀)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0; f’(x₀)=(f(b)-f(a))/(b-a); ∆y/∆x=f’(x₀); ∆y=f’(x)∆x.

Формула конечных приращений: пусть дана ф-ия на отрезке [x₀;x₁]; x₁-x₀=Δx; по ф-ле Лагранжа: f(x₁)-f(x₀)=f’(ξ)(x₁-x₀); f(x₁)-f(x₀)=f’(ξ)Δx; f(x₀+Δx)-f(x₀)=f’(ξ)Δx; ξ=x₀+ΘΔx; 0<Θ<1; => f(x₀+Δx)-f(x₀)=f’(x₀+ΘΔx)Δx. – ф-ла конечных приращений.

Билет№2.39

Асимптоты графика функции.

y=f(x), если функция задана на [a;b] то она может иметь только вертикальные асимптоты.

a) если x₀є(a;b) точка разрыва функции (2 рода (удаление графика в ±∞)), то в этой точке будет вертикальная асимптота. x=x₀

b) (a;b) рассмотрим функцию на бесконечном промежутке: y=kx+b (асимптота); k;b; |y(x₀)-y (x₀)|→0 (по определению асимптоты)

Перейдём к пределу: lim(x→±∞)(f(x)-kx-b)=0; ; x≠0; ; ; ; если ∞ или невычисл., то k нет. Выразим b из начального предела. ; если b=∞ то асимптот нет.

Билет№2.27

Th о производной обратной ф-ии

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y₀, то g’(y₀)=1/f’(x₀), где y₀=f(x₀)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x₀))=g’(f(x₀))*f’(x₀)=1, g’(f(x₀))=g(y₀)=1/f’(x₀)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает () в (а,b) тогда  обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (). Если f диф-ма в точке x₀() и f’(x₀)0, то g диф-ма в точке y₀=f(x₀) и g’(y₀)=1/f’(x₀)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y₀: y_Ny₀, y_Ny₀ =>  посл-ть x_N: x_N=g(y_N), f(x_N)=y_N

g(y_N)-g(y₀)/y_N-y_O = x_N-x_O/f(y_N)-f(y_O) = 1/f(y_N)-f(y_O)/x_N-x_O  1/f’(xo) при nполучили при x_Nx_O g(y_N)-g(y_O)/y_N-y_O1/f’(x_O) => g’(у_O)=1/f’(x_O)

Произв. показат., обратных тригоном. Фи-ий:

1) y=a^x; a>0; a≠1; Рассмотрим ф-ию x=log_ay на yє[0; ) – непрерывна, монотонна, для любых yє(0; ) x’(y)≠0 => на (-;) опред. обр. ф-ия y=a^x диф-а в каждой точке этого интервала, тогда (a^x)’=1/(log_ay)’=1/(1/ylna)=a^xlna

2) y=arcsinx. X=siny на (-П/2;П/2) – непр; возрост. Для любых yє(-П/2; П/2) x’(y)≠0. Сущ. обр. ф-ия на (-1;1) y=arcsinx; (arcsinx)’=1/(siny)’=1/cosy=1/(1-sin²x)^1/2=1/(1-x²)^1/2.

3) y=arccosx; x=cosy на (0;П) непр., убывает, для любых yє(0;П) x’(y)≠0; сущ. ф-ия на (-1;1) y=arccosx; (arccosx)’=1/(cosy)’=1/(-siny)=-1/(1-cos²x)^1/2=-1/(1-x²)^1/2.

4) y=arctgx; x=tgy на (-П/2;П/2), непр., возр. для любых yє(-П/2;П/2), x’(y)≠0; сущ. обр. ф-ия (-;), y=arctgx; (arctgx)’=1/tg’x=1/(1/cos²y)=1/(1+tg²y)=1/(1+x²).

5) y=arcctgx; x=ctgx на (0;П) непр., убыв. Для любых yє(0;П) x’(y)≠0; сущ. обр. ф-ия на (-;) y=arcctgx; (arcctgx)’=1/(ctgy)’=-1/(1/sin²y)=-1/(1+ctg²y)=-1/(1+x²).

Билет№3.4

1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида (x-α)ⁿ соотв. сумма из n простейших дробей вида:

с неопр. коэф. A₁ …n

Каждому множителю вида (x²+px+q)^m соот. сумма из m простейших дробей вида:

с неопределенным коэф.B₁ C₁…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

Билет№2.38

Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки)

Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.

y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)f(x0)+ f‘(x0)(x-x0)  x,x0(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.

Точки перегиба графика ф-ии(опр,признаки)

Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегиба, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум.

Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.

Условия:

Пусть кривая определена ур-ем y=f(x). Если f’’(a)=0 или f’’(a) не существует и при переходе через значение x=a производная f’’(x) меняет знак, то точка кривой с абcцисcой x=a есть точка перегиба.

Док-во: 1) Пусть f’’(x)<0 при x<a и f’’(x)>0 при x>a. Тогда при x<a кривая обращена выпуклостью вверх и при x>a – выпуклостью вниз. => точка А кривой с абсциссой x=a есть точка перегиба.

2) Если f’’(x)>0 при x<b и f’’(x)<0 при x>b, тот при x<b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x>b – выпуклостью вверх. => точка В с абсциссой x=b есть точка перегиба.

Билет№1.5

Монотонные послед.

Посл-ть {xn} наз-ся неубывающей (невозр.) , если для любого n xn≤_xn+1 (x_n≥x_n+1), также послед. называются монотонными.

Посл-ть {xn} – возрост. (убывающей) если для любого n x_n<x_n+1 (x_n>x_n+1).

Опр. Sup – точная верхняя грань последовательности. x=sup{x_n}, n x_n≤x. (ε>0)(  n_ε): x_nε>x-ε – точная.

Inf – точная нижняя грань последовательности. X=inf{x_n}, n x_n≥x. (ε>0)(  n_ε): x_nε<x-ε – точная.

Теорема: Если монотонная послед. ограничена, то она сходится.

Док-во: Пусть {x_n} – неубывающая.  М>0: |x_n|≤M. Покажем, что {x_n}(n→∞)→x. Т.к. X=sup{x_n}, то (ε>0)(N): x-ε<x_N≤x (вычтем x): -ε<x_N-x≤0 |(-1); 0≤x-x_N<ε; т.к. {x_n} – неубыв., то n≥N: x_n≥x_N => 0≤(x-x_n)≤(x-x_N)<ε => |x-x_n|<ε.

Фундаментальные последовательности

Опр. {x_n} – наз. Фундаментальной, если (>ε)( N=N(ε))(n≥N и pєN): |x_n+p-x_n|<ε

Теорема Коши: Для того чтобы {x_n} сходилась, необходимо и достаточно, чтоб она была фундаментальной.

Т. Болц.-Вейрштр. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпосл.

Билет№1.11

Первый замечательный предел.

; sinx~x

∆AOB<сектор AOB<∆AOC

S_∆AOB=1/2R²sinx

1/2R²sinx<1/2R²x<1/2R²tgx |:1/2R²

sinx<x<tgx; sinx поделим на все

составляющие.

1>sinx/x>cosx

x_n>y_n>z_n

x→±0; , т.к. cosx – чётная.

; ;