22. Сильно связные компоненты, алгоритм поиска
Сильно связанной компонентой ориентированного графа G называется максимальное множество вершин U с таким свойством: любые две вершины u и v из U достижимы друг из друга.
FindStrongComp(G)
1 DFS (G) ► вычисли м f[u] для каждой вершины и
2 R ← Reverse(G) ► инвертируем все ребра в G
3 SortByF(R) ► сортируем вершины в R по f[u] по убыванию
4 DFS(R)
Результат: каждое DFS-дерево в R является сильно
связанным компонентом.
Каждое ребро в GT, соединяющее два сильно связных компонента, идет от компонента с более ранним временем завершения (при поиске в глубину) к компоненту с более поздним временем завершения.
Сильно связные компоненты и DFS
Алгоритм поиска сильно связных компонентов
23. Построение минимально покрывающего дерева, алгоритм Крускала
Алгоритм Крускала изначально помещает каждую вершину в своё дерево, а затем постепенно объединяет эти деревья, объединяя на каждой итерации два некоторых дерева некоторым ребром.
Перед началом выполнения алгоритма, все рёбра сортируются по весу (в порядке неубывания). Затем начинается процесс объединения: перебираются все рёбра от первого до последнего (в порядке сортировки), и если у текущего ребра его концы принадлежат разным поддеревьям, то эти поддеревья объединяются, а ребро добавляется к ответу.
По окончании перебора всех рёбер все вершины окажутся принадлежащими одному поддереву, ответ найден.
Kruskal (G = (V, Е), w) {
А = {} // initially A is empty
for each (u in V) Create_Set(u) // create set for each vertex
Sort E in increasing order by weight w
for each ((u, v) from the sorted list) {
if (Find_Set(u) != Find_Set(v)) { // u and v in different trees
Add (u, v) to A
Union (u, v)
}
}
return A
}
Процедуры
Create — Set (u) - создать множество из одной вершины u.
Find — Set (u) - найти множество, которому принадлежит вершина u возвращает, в каком множестве находится указанный элемент. На самом деле при этом возвращается один из элементов множества (называемый представителем или лидером ). Этот представитель выбирается в каждом множестве самой структурой данных (и может меняться с течением времени, а именно, после вызовов Union ).
Если вызов Find — Set для каких-то двух элементов вернул одно и то же значение, то это означает, что эти элементы находятся в одном и том же множестве, а в противном случае — в разных множествах.
Union (u,v) - объединить множества, которые содержат вершины u и v
Множества элементов будем хранить в виде деревьев: одно дерево соответствует одному множеству. Корень дерева — это представитель (лидер) множества.
При реализации это означает, что мы заводим массив parent , в котором для каждого элемента мы храним ссылку на его предка в дерева. Для корней деревьев будем считать, что их предок — они сами (т.е. ссылка зацикливается в этом месте).
Чтобы создать новый элемент (операция Create — Set ), мы просто создаём дерево с корнем в вершине v , отмечая, что её предок — это она сама.
Чтобы объединить два множества (операция Union(a,b) ), мы сначала найдём лидеров множества, в котором находится a, и множества, в котором находится b. Если лидеры совпали, то ничего не делаем — это значит, что множества и так уже были объединены. В противном случае можно просто указать, что предок вершины b равен f (или наоборот) — тем самым присоединив одно дерево к другому.
Наконец, реализация операции поиска лидера (Find — Set(v) ) проста: мы поднимаемся по предкам от вершины v , пока не дойдём до корня, т.е. пока ссылка на предка не ведёт в себя. Эту операцию удобнее реализовать рекурсивно.
Эвристика сжатия пути
Эта эвристика предназначена для ускорения работы Find — Set() .
Она заключается в том, что когда после вызова Find — Set(v) мы найдём искомого лидера p множества, то запомним, что у вершины v и всех пройденных по пути вершин — именно этот лидер p . Проще всего это сделать, перенаправив их parent на эту вершину p .
Таким образом, у массива предков parent смысл несколько меняется: теперь это сжатый массив предков, т.е. для каждой вершины там может храниться не непосредственный предок, а предок предка, предок предка предка, и т.д.
С другой стороны, понятно, что нельзя сделать, чтобы эти указатели parent всегда указывали на лидера: иначе при выполнении операции Union пришлось бы обновлять лидеров у O(n) элементов.
Таким образом, к массиву parent следует подходить именно как к массиву предков, возможно, частично сжатому.
Применение эвристики сжатия пути позволяет достичь логарифмическую асимптотику: на один запрос в среднем
Эвристика объединения по рангу
Рассмотрим здесь другую эвристику, которая сама по себе способна ускорить время работы алгоритма, а в сочетании с эвристикой сжатия путей и вовсе способна достигнуть практически константного времени работы на один запрос в среднем.
Эта эвристика заключается в небольшом изменении работы: если в начальной реализации то, какое дерево будет присоединено к какому, определяется случайно, то теперь будем это делать на основе рангов.
Есть два варианта ранговой эвристики: в одном варианте рангом дерева называется количество вершин в нём, в другом — глубина дерева (точнее, верхняя граница на глубину дерева, поскольку при совместном применении эвристики сжатия путей реальная глубина дерева может уменьшаться).
В обоих вариантах суть эвристики одна и та же: при выполнении будем присоединять дерево с меньшим рангом к дереву с большим рангом.
Асимптотика работы системы непересекающихся множеств при использовании только ранговой эвристики, без эвристики сжатия путей, будет логарифмической на один запрос в среднем: O(log n).
При совместном применении эвристик сжатия пути и объединения по рангу время работы на один запрос получается O(α(n)) в среднем, где α(n) — обратная функция Аккермана, которая растёт очень медленно, настолько медленно, что для всех разумных ограничений она не превосходит 4 (примерно для n<=10600 ).
Именно поэтому про асимптотику работы системы непересекающихся множеств уместно говорить "почти константное время работы".
Асимптотическая оценка алгоритм Крускала
Инициализация – O(V)
Упорядочение ребер - O(E logE)
Операции сравнения выполняются O(E) раз за время O(E α(V)).
Общее время работы - O(E logE)
