3. Числовые характеристики выборки

Для статистической выборки можно определить ряд числовых параметров, аналогичных тем, что были введены в рассмотрение для случайных величин в теории вероятностей.

Выборочное среднее – это среднее арифметическое наблюдаемых значений выборки:

= где - частость.

Выборочная статистическая дисперсия: D = .

Выборочное среднее квадратичное отклонение:

.

Часто в качестве характеристик вариационного ряда x_i используются также понятия моды и медианы.

Модой М₀* вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медиана Ме* - это признак Х, приходящийся на середину вариационного ряда.

В приведенном выше примере:

= 15,75; D=25,42; = 5,04; М₀* = 3; Ме* = 15.

4. Статистическая оценка параметров распределения

При изучении случайной величины Х с законом распределения, зависящим от одного или нескольких параметров, требуется по известной выборке

х₁, х₂, … х_п, полученной в результате наблюдений (опытов), оценить некоторый параметр

Статистической оценкой _п параметра теоретического распределения выборки называют его приближенное значение, зависящее от этого выбора.

Очевидно, оценка является значением некоторой функции результатов наблюдений над случайной величиной, а сама функция при этом называется статистикой.

К оценке любого статистического параметра предъявляется на практике ряд требований, которым она должна удовлетворять, чтобы быть близкой к своему истинному значению и максимально соответствовать реальности.

5. Свойства статистических оценок.

Качества оценки определяют, проверяя, обладает ли она свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценка параметра называется несмещенной, если , т.е. математическое ожидание случайной величины должно быть равно значению параметра .

Оценка _п называется состоятельной, если сходится по вероятности к оцениваемому параметру: . Это означает, что с увеличением объема выборки мы все ближе к истинному (достоверному) значению .

Несмещенная оценка _п называется эффективной, если ее дисперсия минимальна.

Статистическая оценка, используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности, называется ее точечной оценкой.

Точечные оценки хороши в качестве первоначальных результатов обработки наблюдений, однако заранее неизвестно с какой точностью они представляют оцениваемый параметр.

В результате возникает задача о приближении параметра не одним числом, а целым интервалом значений (в частности концами интервала), при этом оценка неизвестного параметра будет называться интервальной, а интервал ( ₁; ₂), накрывающий с вероятностью истинное значение параметра , - доверительным интервалом и вероятность - надежностью оценки или доверительной вероятностью.

6. Статистическая проверка гипотез

Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с применением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или отвергнуто предположение (гипотеза) относительно некоторого свойства генеральной совокупности (случайной величины).

Например, новое лекарство испытано на определенном числе людей. Можно ли сделать обоснованный вывод о том, что это лекарство более эффективно, чем применявшееся ранее.

Сопоставление высказанного предположения с имеющимися выборочными данными называется проверкой гипотез.

В частности, под статистической гипотезой понимают всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Правило, по которому принимается решение о принятии или отклонении гипотезы называется статистическим критерием или критерием проверки гипотезы, например известные критерии согласия Пирсона, Колмогорова, Фишмана и др., используемые часто на практике для проверки законов распределения случайных величин.