4. Классическое определение вероятности

Пусть некоторое множество , которое будем называть пространством, представляется в виде объединения своих элементарных событий:

.

и пусть событие А представляется как объединение m таких событий ( ):

.

Вероятность события – это количественная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.

Вероятностью события А называется отношение

,

где m – число элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, n – число всех элементарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента.

Свойства вероятностей:

1) Для любого события А .

2) Если А – достоверное событие, то .

3) Если А – невозможное событие, то .

4) Сумма вероятностей события А и противоположного ему события равна 1:

.

Пример 3. Наугад выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым.

Решение: событие А – выбранное число является простым.

В данном случае - общее число событий п = 10 (все натуральные числа не больше 10), благоприятное число исходов – m = 4 (простые числа 2,3,5,7). Следовательно, искомая вероятность

Р(А) = = 0,4

Пример 4. Монету бросили 3 раза. Найти вероятность того, что «орел» выпадет 2 раза.

Решение. Запишем все возможные случаи:

ω₁ = (о, о, о), ω₂ = (о, о, р), ω₃ = (о, р, о), ω₄ = (р, о, о),

ω₅ = (о, р, р), ω₆ = (р, о, р), ω₇ = (р, р, о), ω₈ = (р, р, р).

Тогда = {ω₁}+{ω₂}+…+{ω₈}, ,

А = {ω₂}+{ω₃}+{ω₄}, m = 3,

т.е. P(A) = 3/8.

Пример 5. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

Решение. Общее число комбинаций выбора АО равно числу сочетаний из 20 по 6, т.е. . Выбрать двух АО-банкротов из четырех можно способами. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться АО, не являющиеся банкротами. Число комбинаций таких АО будет . Тогда приобретение акций 6 АО, из которых 2 – банкроты, возможно способами. Поэтому искомая вероятность запишется в виде

.

Пример 6. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5.

Решение. Общее число возможных комбинаций для контрольного вскрытия равно числу сочетаний из 10 по 5, т.е. . Число возможных комбинаций из 5 чисел, два из которых – это 2 и 5, равно . Тогда вероятность найдется по формуле

.

5. Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное событие состоит в том, что точка попадает в некоторое множество , и пусть случайное событие А состоит в том, что мы попадаем в некоторое подмножество . При этом будем считать, что возможность попасть в некоторое подмножество из Ω не зависит от этого подмножества, от его размещения в Ω, а зависит только от его площади. Тогда за вероятность P(A) принимается отношение

.

Если на отрезок длины L бросается точка и возникает вопрос, какова вероятность того, что она попадет в промежуток длины h на заданном отрезке, то вероятность этого события вычисляется по формуле

.

Если в пространственную область T объемом V(T) бросается точка и возникает вопрос о вероятности попадания в определенную область объемом , то вероятность будет равна

.

Пример 7. В окружность радиуса R вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в окружность, попадет в квадрат.

Решение. Вероятность попадания точки в квадрат равна отношению площади квадрата к площади окружности:

,

при этом сторона квадрата, вписанного в окружность радиуса R, равна R , а площадь квадрата = 2R². Тогда = .

Ответ: .