31. Логико-вероятностный метод анализа надежности (функции алгебры логики)

Относятся к логико-вероятностным методам надежности

Если закодиров. состояние кажд. из элементов схемы двоичн перемен-и x_{i =} то функционирование системы можно описать с помощью функции алгебры логики.

Работоспособность системы записывается через работоспособность элементов системы. Полученные функции алгебры-логики преобраз-ся затем таким образом, чтобы в ней содержались члены соответствующие благопр гипотез исправной работы системы.

Вместо x_{i , i} подставляется вероятность безотказной работы и вероятность отказа, а знаки коньюнкции и дизъюнкции заменяются алгебраическим умножением и сложением.

- - - … - -

x_{i =}

ФАЛ = x₁ x₂ … x_n

Подставив вместо логич элемен вероят технических состояний

P_c(t) = P₁(t) P₂(t)… P_n(t)

Структурн схема представляет собой дублирующ схему с неравнонад постоянно включенными элементами

x₁ - -

- 1 1 -

x₂ - -

Таблица истинности

x₁ x₂ y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Состояние работоспособности системы

y= x₁ x₂ v x_{1 2} v ₁x₂

Данное выражение заменяем записью вероятности отказа работы

P_c(t) = P₁(t) P₂(t) + P₁(t)q₂(t) + ₁(t)P₂(t)

x₁ - - x₂

• - 1 1 -

- - x₃

Таблица истинности

x₁ x₂ x₃ y

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 1

Y = x₁x₂x₃ v x_{1 2}x₃ v x₁x_{2 3}

P_c(t) = P₁(t) P₂(t) P₃(t) + P₁(t) q₂(t) P₃(t) + P₁ P₂(t) ₃(t)

32. Метод кратчайших путей и минимальных сечений.

Min путь – набор элементов в структуре при котор система исправна, если исправны все элементы этого набора. Отказ любого элемента ведет к отказу системы.

Min сечение – набор элементов в структуре при котором система не исправна, если не исправны все элементы этого набора.

Последовательн соедин из n элементов имеет один min путь и n минимальн сечений, проходящих через каждый элемент.

Параллельное соедин из n элементов имеет n миним путей, проходящих через каждый элемент и одно миним сечение.

Событие состоящее в том, что все элементы пути Аi исправны обозначим Аi

Для вероятн безотказной работы справедливо равенство.

P = - … + (-1)^r-1 P(A₁, A_{2, …} A_s)

B_1, B_{2, …} B_s множество всех min сечений

Событие состоит в том, что все элементы сечения Bi неисправны, обозначим как Bi

Для вероятности отказа справедливо следующее равенство:

Q = - + - … + (-1)^s-1 P(B_1, B_{2, …} B_s)

33. Методы анализа надежности на основе теорем теории вероятностей.

Метод перебора гипотез

Пусть невосстанавливаемая система состоит из n элементов и имеет произв структуру.

Считаем, что элементы могут находиться в 2х состояниях:

Pi – элемент работоспособен

Qi – элемент не работоспособен

Pi+qi = 1

Вся система может находиться в 2ⁿ возможных состояниях

Гипотезы

H₀ – все n элем отказали

H_i - отказал i элемент, остальные работоспособны

H_i,j – отказал i и j элементы

H_1,2,…,n – отказали все элементы

Предположим, отказы элемента независимы. Находим вероятность каждой гипотезы.

P(H₀) = P₁P₂ … P_n

P(H_i) = P₁P₂ … q_i… P_n

P(H_i,j) = P₁P₂ … q_i … q_j … P_n

P(H_1,2,…,n) = q₁ q₂ … q_n

Вероятность безотказной работы определяется суммированием вероятн гипотез, которые соответствуют работоспособным состояниям системы

P =