17. Понятие смешанной стратегии.

СМЕШАННАЯ СТРАТЕГИЯ – стратегия игрока, состоящая в случайном выборе одной из его чистых стратегий. Она представляет собой дискретную случайную величину, значениями которой являются номера чистых стратегий игрока.

Это линейная комбинация чистых стратегий с коэффициентами, равными вероятностям чистых стратегий, поэтому смешанную стратегию, например, игрока А, имеющего m чистых стратегий, можно представить m-мерным вектором

18. Геометрическая интерпретация множества смешанных стратегий.

Правая часть равенства является выпуклой комбинацией орт А₁,...,А_m и потому мн-во S_A всех смешанных стратегий геометрически представляет собой фундаментальный (m-1)-мерный симплекс с m вершинами в точках А₁,...,А_m, пред­ставляющих чистые стратегии (выпуклая оболочка, натянутая на чистые стратегии).

Например, при m = 1 игрок А обладает одной чистой страте­гией A₁ и потому смешанная стратегия совпадает с чистой. Таким образом, мн-во смешанных стратегий состоит из единст­венного элемента А₁ : S_A= ={А₁} - и представляет собой 0-мерный симплекс, состоящий из единственной точки - верши­ны А₁. (Рис. 1)

При m = 2 игрок А имеет 2 чистые стратегии: ={А₁, А₂}, а мн-во S_A смешанных стратегий есть 1-мерный симплекс с двумя вершинами А₁ и А₂, представляющий собой отрезок с концами А₁, и А₂. (Рис. 2)

При m = 3 у игрока А 3 чистые стратегии: ={А₁, А₂, А₃}; мн-во S_A смешанных стратегий является 2-мерным симплек­сом с вершинами А₁, А₂, А₃, представляющим собой плоский правильный треугольник А₁ А₂ А₃. (Рис. 3)

При m = 4 множество смешанных стратегий S_A есть 3-мерный симплекс с четырьмя вершинами А₁ А₂, А₃, А₄, представляю­щий собой правильный тетраэдр. (Рис. 4)

Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место и для игрока В, мн-во чистых стратегий которого ={B₁, …, B_n} представляет собой множество п вершин B₁, …, B_n (n-1)-мерного симплекса смешанных стратегий.

19. Выигрыш-функция в смешанных стратегиях и различные формулы ее представления.

ВЫИГРЫШ-ФУНКЦИЯ ИГРОКА В СМЕШАНЫХ СТРАТЕГИЯХ – функция H(P,Q)= p_ia_ijq_j, определенная на декартовом произведении S_A Х S_B множеств смешанных стратегий S_A и S_B игроков А и В соответственно и ставящая в соответствие каждой ситуации (P,Q) ε S_A Х S_B в смешанных стратегиях P = (p₁,p₂,…,p_m) игрока А и Q = (q₁,q₂,…,q_m) игрока В средневзвешанный выигрыш игрока А в этой ситуации, определяемый выражением в правой части равенства.

Формулы представления выигрыш-функции:

1. В матричной форме

H(P,Q) = PAQ^T где P=(p₁,p₂,…,p_m) – вектор-строка смешанной стратегии игрока А размера 1хm; А – матрица выигрышей игрока А в чстых стратегиях mхn; Q^T – вектор-столбец размера nх1 смешанной стратегии игрока В.

Существуют некоторые частные случаи этого равенства:

• H(A_k,Q) = (a_k1, a_{k2, … ,}a_kn)Q^T = A_kAQ^T где A_k – вектор-строка размера 1хm, k-я координата которой равна 1, а все остальные равны 0.

• H(P,B_l) = P(a_1l, a_2l, … ,a_ml)^T = PA(B_l)^T где P=(p₁,p₂,…,p_m); B_l – вектор-строка размера 1хn, l-я координата которой равна 1, а все остальные равны 0.

• H(P,Q) = p_i H(A_i,Q) = H (P,B_j)q_j = p_i H(A_i , B_j)q_j где A_i – вектор-строка размера 1хm, i-я координата которой равна 1, а все остальные равны 0, B_j – вектор-строка размера 1хn, j-я координата которой равна 1, а все остальные равны 0.